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2021.09.22

E-0113. 真空の排気式の導出 — EC

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真空の排気式の導出
 
発行:エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/
 
連載「測定の新常識!?SOLがお伝えするノウハウ!」
2021年9月22日号 VOL.113

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
無料にてメールマガジンを配信いたしております。
 
◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇
 
 
 
皆さん、こんにちは。
営業技術の張です。

今回は真空技術についてお話します。

X線CT装置の殆どは熱電子を加速し、
ターゲットに衝突させ、X線を発生させています。
熱電子の加速には真空環境が必要です。

完全な真空は理想状態であり、現実には存在しません。
世の中使われている真空は希薄気体だと考えても良いです。

真空は圧力により
 低真空(10^5 ~ 10^2 Pa)、
 中真空(10^2 ~ 10^-1 Pa)、
 高真空(10^-1 ~ 10^-5 Pa)、
 超高真空(10^-5 Pa 以下)
に分類されています。
TomoScope では真空圧が約(10^-3 ~ 10^-4 Pa)の
高真空が使われています。

高真空環境を作る為には、
真空ポンプを使って排気する必要があります。

そのプロセスは、水の入った風呂桶を空にする為に、
バケツで汲んで、外に捨てる作業に似ています。
違うのは、水は重力で風呂桶の下に集まりますが、
空気は常に容器中に満たされています。

容器に満たされた気体分子は、運動状態により、
粘性流、中間流、分子流 に分類されています。
ポンプの排気過程としては、まず粘性流領域、
次に中間流領域、最後は分子流領域で行われます。


ここでは、水の扱いと同様な粘性流において
計算式を導きます。

排気の過程を考えるために、例えば体積 V の容器に
気体分子が密度 n で満たされた状態を考えます。

ある短い時間 Δt 毎に体積 v の空箱を取付け、
そして Δt 秒後にこの箱を取り外します。
すると、満たされた気体分子数は減り、
排気されることになります。

分子数 N は nV として、
Δt 秒後の分子数の変化率を考えると、

容器に対して、体積 V が一定で、
密度のみが変化している為、

  ΔN / Δt = V × Δn / Δt

と書けます。

空箱に対して、体積 v が一定で、
密度は取り付ける前には 0 で、
取り付けた後は n になる為、

  ΔN / Δt = v × (0-n) / Δt = -vn / Δt

と書けます。

ポンプの排気スピードを S = v / Δt にすると、

  V × Δn / Δt = -Sn

です。

Δt を無限に小さくすると、微分の概念により、

  V × dn/dt = -Sn

という方程式に書くことができます。


気体分子の密度が簡単に測定できれば、
この式を解けば良いのですが、
実際には分子密度の測定が難しい為、
測定しやすい圧力で上記の式を書き直します。

気体分子運動論の基礎により、理想気体の状態方程式は

  p = nkT

( p:気圧、n:気体密度、k:ボルツマン定数、T:温度 )
です。

上の式を書き直すと、

  V × dp/dt = -Sp

になります。

そして、式を下記のように変形します。

  dp/dt = -(S/V)×p

この式の意味は、気圧変化の勢いが
気圧 p に比例(比例定数 S/V )することを表しています。
S/V にマイナスが付いているのは、
気圧が下がることを表します。

これを解く為に、更に式を変形します。

  (1/p)×dp = -(S/V)×dt

両側同時に積分すると、

  ln(p) = -(S/V)t + 定数C

になります。

t = 0 の時、p = p0 だとすると、
次のような式が得られます。

  p = p0 exp(-(S/V)×t)

この式はよく使われていますね。

X線の減衰、液体の冷却、コンデンサ(キャパシタ)の充放電
など、全部この関数で表されます。

この式によって、排気する容器の気圧は
指数関数で減衰していることが分かります。

但し、これは粘性流のときのみを表しています。
TomoScope で使われている高真空では、
殆ど分子流領域で扱っている為、
そのまま計算することができません。

でも、高真空までの排気プロセスとして、
この式を参考に、真空引きのイメージを理解できます。

それでは、今日はこの辺で。
最後までお付き合い頂き、有難う御座いました。


--
E.C

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