◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

最大測定可能ソリ量

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「知って得する干渉計測定技術！」
2009年3月10日号　VOL.002

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
干渉計による精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
無料にてメールマガジンを配信いたしております。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇



干渉計で表面形状を測定する際に、気になることとして、
分解能、精度、ダイナミックレンジ　等が挙げられます。

平面度測定において、実際に興味のあるダイナミックレンジとは、
どこまで大きく反ったものが測定できるか、つまり最大測定可能ソリ量です。
今回は、この最大測定可能ソリ量について考察することにします。

まず、最大測定可能ソリ量を計算する上で欠かせないのが、
ローカル スロープ リミット（LSL）です。
これは、CCDカメラの2ピクセルに干渉縞が1本以上入り、
高さ情報をサンプリングできなくなる条件です。

　　LSL [um/mm] = (1/2) × Sensitivity [um/fr] ÷ 横分解能 [mm/pixel]

で表されます。
Tropel平面度測定機FlatMaster のLSLを計算すると、次のようになります。

測定物直径：横分解能：LSL(S=1.5)：LSL(S=4.0)：LSL(S=9.0)
　　50mm　：　0.13　：　 6.0　　：　16.0　　：　36.0
　 100mm　：　0.25　：　 3.0　　：　 8.0　　：　18.0
　 150mm　：　0.38　：　 2.0　　：　 5.3　　：　12.0
　 200mm　：　0.50　：　 1.5　　：　 4.0　　：　 9.0

ただし、SはSensitivity（縞感度）を表します。

それでは、このLSLをもとに、最大測定可能ソリ量を計算してみましょう。


１）放物線状ソリ形状
測定物の形状が放物線状であったと仮定して、計算してみます。

zを高さ、xを横方向、aを係数とすれば、放物線は、

　　z = ax^2

で表されます。
このとき、各点における局所勾配は、微分 dz/dx ですので、

　　dz/dx = 2ax

となります。
測定物のx座標がpのときにLSLに達したとします。式で書くと、

　　LSL = 2ap

です。これをaについて解けば、

　　a = LSL / (2p)

となります。これらを元の放物線の式に代入すると、
最大測定可能ソリ量 Z_max [um] が求まります。

　　Z_max = (LSL / (2p))p^2 = (p/2) × LSL

測定物の中心を放物線の頂点として、pには測定物の半径、
LSLには、上記の表の数値を代入することで、
最大測定可能ソリ量 Z_max [um] の表ができます。

測定物直径：Z_max(S=1.5)：Z_max(S=4.0)：Z_max(S=9.0)
　　50mm　：　　75.0　　：　 200.0　　：　 450.0
　 100mm　：　　75.0　　：　 200.0　　：　 450.0
　 150mm　：　　75.0　　：　 200.0　　：　 450.0
　 200mm　：　　75.0　　：　 200.0　　：　 450.0

表を見てお分かりの通り、ソリ形状が放物線状の場合、最大測定可能ソリ量は、
測定物の大きさに依らず、Sensitivityのみで決まってしまいます。
（これは、横分解能が測定物直径で決まるので、うまくキャンセルしてしまうためです）


２）円弧状ソリ形状
続いて、測定物の形状が円弧状であったと仮定して、計算してみます。

zを高さ、xを横方向、rを曲率半径とすれば、円の方程式は、

　　x^2 + (z - r)^2 = r^2

ですので、下半分の円弧の方程式は、

　　z = r - √(r^2 - x^2)

です。
このとき、各点における局所勾配は、微分 dz/dx ですので、

　　dz/dx = x / √(r^2 - x^2)

となります。
測定物のx座標がpのときにLSLに達したとします。式で書くと、

　　LSL = p / √(r^2 - p^2)

です。これをrについて解けば、

　　r = p × √(1 + 1/(LSL)^2 )

となります。これらを元の円の式に代入し、
最大測定可能ソリ量 Z_max [um] が求まります。

　　Z_max = p × √(1 + 1/(LSL)^2 ) - √( p^2 × (1 + 1/(LSL)^2 ) - p^2 )
　　　　　= p × √(1 + 1/(LSL)^2 ) - p / (LSL)

pには測定物の半径、LSLには冒頭の表の数値を代入することで、
最大測定可能ソリ量 Z_max [um] の表ができます。

測定物直径：Z_max(S=1.5)：Z_max(S=4.0)：Z_max(S=9.0)
　　50mm　：　 74.9993　：　199.9872　：　449.8543
　 100mm　：　 74.9998　：　199.9968　：　449.9636
　 150mm　：　 74.9999　：　199.9986　：　449.9838
　 200mm　：　 75.0000　：　199.9992　：　449.9909

今度は放物線の場合と異なり、測定物直径に依存した結果になります。
しかし、結果はほぼ、

　　Z_max(S=1.5) = 75 um
　　Z_max(S=4.0) = 200 um
　　Z_max(S=9.0) = 450 um

としてしまっても良い感じです。
これは、円の方程式をテーラー展開し、
測定物直径に対してソリ量が十分小さいとして、高次の項を落とせば、
放物線と同じ式になることからも確かめられます。


ただ、実際の測定となると、形状も理想的ではありませんし、条件も様々です。
しかし、上記で求めた理論値を目安にして、実際の測定に臨むことができるはずです。


--
高野智暢