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相空間における調和振動子

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2024年2月21日号　VOL.154

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前回（A-0153. 相空間のお話）の続きです。


相空間（phase space）は、
「座標と運動量を独立変数にした空間で、力学的な状態を決定できる」
という話でした。

変数が満たすべき ハミルトン方程式 は、

　　dx/dt = ∂H/∂p　　と　　dp/dt = -∂H/∂x

です。（時間を t、座標を x、運動量を p と書いています。）


ハミルトニアン H は簡単に言うと、全エネルギーのことです。
つまり、運動エネルギー T と ポテンシャルエネルギー V に対して、

　　H = T + V

です。
（前回の記事の中身は、実質これだけです。）


今回は、
調和振動子（物体とバネと壁をつないだときの振動現象）
の例を相空間で考えるという内容です。


バネ定数を k とすると、ハミルトニアン H は、

　　H = (p^2)/(2m) + (kx^2)/2

です。

運動方程式の目的は、ある時点の x と p を知ることで、
その先の未来（あるいはそれまでの過去）を予言することです。

エネルギー保存則より、H は一定の値 E を取り続ける（H = E）ので、

　　(p^2)/(2m) + (kx^2)/2 = E

となり、式変形によって、

　　(x^2)/(2E/k) + (p^2)/(2mE) = 1

になります。
これは、楕円の方程式

　　(x^2)/(a^2) + (p^2)/(b^2) = 1

に他ならないので、
相空間として、横軸 x、縦軸 p としたときの状態点 (x, p) の

　　(-√(2E/k), 0) : 座標xは負の最大振幅位置、速度はゼロ
　　(0, √(2mE))   : 座標xは釣り合いの位置、速度は正方向最大
　　(√(2E/k), 0)  : 座標xは正の最大振幅位置、速度はゼロ
　　(0, -√(2mE))  : 座標xは釣り合いの位置、速度は負方向最大

を通る楕円によって、運動が決定されることが分かります。
運動方程式を解くまでもなく、欲しい情報が手に入りました。

与えられたエネルギー E によって、
相空間上の同じ軌跡をずっと周り続けます。
（異なるエネルギーの軌跡は交わることがありません。）


ここで今回の話を終えてもよいのですが、
せっかくなので、ハミルトン方程式を解いてみます。

　　dx/dt = ∂H/∂p = p/m
　　dp/dt = -∂H/∂x = -kx

つまり、xをtで微分すると、pに係数(1/m)を掛けたものになり、
pをtで微分すると、xに係数(-k)を掛けたものになるという
連立方程式を解けばよいのです。

これは、まさに三角関数の sin と cos の関係なので、

　　x = A sin( √(k/m) t + α)

であれば、

　　p = m(dx/dt) = A √(km) cos( √(k/m) t + α)

で、方程式を満たしていることが分かります。
このときの A は、最大振幅を与えておけばよいので、

　　 A = √(2E/k)

となり、αは振動開始の条件を与えておけばよいです。
つまり、t=0 で、

　　x = √(2E/k) sin(α)
　　p = √(2mE)  cos(α)

です。


簡単な例では、
ニュートン力学でもラグランジュ力学でもハミルトン力学でも
同じ答えになるので、抽象度が低めのニュートン力学で十分ですが、

粒子の数が多くなったり、ちょっと複雑なシステムを考えるだけで、
ニュートン力学では手に負えなくなってしまうので、

ラグランジュ力学やハミルトン力学が強力な道具になります。


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高野智暢