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三角形の重心

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2022年2月9日号　VOL.132

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三角形の重心は、数学で感動を味わえる題材の代表格です。

もし、三角形の重心のことを、
重さの中心であり、その点で吊り上げるとバランスする点
という「性質」だけを覚えているのであれば、

感動を味わえるチャンスです。

感動という主観によるものを解説するというのは
野暮なことですが、

感動を多くの人と共有したいと思う気持ちは、
人間の欲求の一つだと思います。


さて、三角形の重心の定義を書くと、
「3本の中線の交点を重心と呼ぶ」です。

　　（中線 ＝ 三角形の頂点とその向かい合う辺の中点を結んだ線分）

定義には重さとかバランスとかは含まれていません。

　　定義から出発して、性質を証明しながら導いていく
　　という演繹の方向は、数学の常套手段ですが、

　　定義を作るというのも数学の重要な方向です。
　　（多くの性質から帰納する方向です。）

定義を憶えて、演繹の方向だけやっていると、
味わえない楽しみがあるので、
どうしてそのような定義になったのかとか、
そもそもどうしてそのように名前を付けたのか
というのを考えると楽しいです。

　　数学で好きな用語を挙げると、例えば、
　　「芽」「茎」「根」があります。
　　植物の部分のような名前です。

　　「根」は、多項式方程式の解のことで、
　　ルート（root）の日本語訳です。
　　平方根 や 立方根 と言う時の 根 です。

　　芽 や 茎 は 層 の理論を勉強すると出てきます。


そこで、「重心」という名前についても考えてみます。

「重心」という用語の定義を
「重さがバランスする点」としても良いはずです。
そもそもこれが「重心」という一般的な言葉の定義です。

すると、「3本の中線の交点」のことを別の名前に
定義する必要があります。
例えば、「G点」と命名します。

結果として、
「G点」＝「重心」が証明できる（これは感動ポイントの一つ）ので、
「三角形の重心」という場合の「重心」という用語の定義を
「G点」と同一視して、置き換えるのです。

　　抽象化 や 同一視 も数学の常套手段です。
　　リンゴ 3個 と ミカン 3個 の 3 という共通性質を抽出することで、
　　もはやリンゴやミカンを考えなくても 3 を考えられるようになります。

　　「重心」に関しては、定義すら忘れてしまっても、
　　性質だけ覚えて使うことができるということが起こります。


「重心」という用語について、思ったことを書き連ねるだけで、
長くなってしまいましたが、

おそらく、最も感動するポイントは、

「どんな三角形を持ってきても、3本の中線が必ず 1点で交わる」

という事実だと思います。


「三角形には重心という 1点が存在して、それは中線を結ぶことで得られる」
という性質を覚えてしまうと、感動から少し遠ざかります。

　　せっかく、脳には忘れるという能力があるので、
　　いろいろ忘れましょう。

どんな三角形を持ってきても、2本の中線を引けば、
3本目は必ずその交点を通るのです。
もはや奇跡です。

2本の線で交点を作り、
（その交点を通るように3本目を引くのではなく、）
1本目と2本目と同じ規則に従って3本目を引くと
数ある可能性の中から、必ず同じ交点を通るのです。

証明してみると、確かにそうだと確信できますが、
（人から聞いて覚えるのではなく、自分で証明してみると、）
何かとてつもない真実を知った気持ちになります。


定義を見て、性質（定理）を見て、
えっ本当にそうなの？と思って、
自分で証明してみて、確かにそうだと納得して驚く
というのを繰り返すと、とても楽しめます。

感動すると、次はなかなか忘れにくくなります。


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高野智暢