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2021.12.08

A-0130. 三角関数の3倍角の公式 — TT

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三角関数の3倍角の公式

発行:エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定!?」
2021年12月8日号 VOL.130

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
無料にてメールマガジンを配信いたしております。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇



前回は、三角関数の3倍角の公式:

  sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin^3(θ)

を使いました。
今回は、この公式を導出します。


<方法1>

オイラーの公式:

  exp(iθ) = cosθ + i sinθ

を使います。

  exp(i3θ) = { exp(iθ) }^3
       = ( cosθ + i sinθ )^3
       = ( cos^2θ - sin^2θ + 2i cosθsinθ )( cosθ + i sinθ )
       = cos^3θ - cosθsin^2θ - 2cosθsin^2θ + i(cos^2θsinθ - sin^3θ + 2cos^2θsinθ)
       = cos^3θ - 3cosθsin^2θ - i sin^3θ + 3i cos^2θsinθ
       = cos^3θ - 3cosθ(1-cos^2θ) - i sin^3θ + 3i sinθ(1-sin^2θ)
       = 4cos^3θ - 3cosθ + i( -4sin^3θ + 3sinθ )

一方で、

  exp(i3θ) = cos(3θ) + i sin(3θ)

なので、実部と虚部を比較して、

  cos(3θ) =  4cos^3θ - 3cosθ
  sin(3θ) = -4sin^3θ + 3sinθ

が得られました。


<方法2>

せっかくなので、別の方法で導出してみます。
今度は、加法定理:

  sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
  cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ

を使ってみます。
まず、sin(α+β) について、α=θ、β=2θ として、

  sin(3θ) = sin(θ+2θ)
       = sinθ cos(2θ) + cosθ sin(2θ)
       = sinθ (cosθ cosθ - sinθ sinθ) + cosθ (sinθ cosθ + cosθ sinθ)
       = sinθ cos^2θ - sin^3θ + sinθ cos^2θ + cos^2θ sinθ
       = 3sinθ (1-sin^2θ) - sin^3θ
       = -4sin^3θ + 3sinθ

のように計算できます。


3倍角の公式などは、公式集を見ればよいのですが、
自分にとっては、この導出はもはや娯楽です。

公式を使うときは、記憶違いがあるといけないので、公式集を見ます。
(導出に時間を掛けて、本題の完成が遅れるのもよくないので。)
いつも手元にあるのは、「岩波数学公式」の3冊セットです。

でも、本題が片付いた後、気分転換というか、気晴らしというか、
まさに娯楽として、使った公式の導出をやりたくなります。

初めて取り組む導出は、ワクワクします。
自力でできるものもあれば、
長い歴史の中で天才達が作った公式は、ノーヒントでは難しいので、
できるだけ少ないヒントで解こうとしてみます。

過去に導出をしたことがある公式も、
人間というのは忘れるという特技があるので、
忘れた後に、(記憶を思い出して解くのではなく、)考えて解くのは楽しいです。

忘れることで、何度も楽しめます。


--
高野智暢

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