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ラグランジュ方程式の導出

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年5月12日号　VOL.122

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前回は、「ラグランジュの運動方程式」というタイトルだったのに、
その式すら書くことなく、
そのときに思い浮かんだことを書くだけで終わってしまいました。

今度こそ、方程式の導出を（細かい説明抜きに）計算してみます。

まず、ラグランジアン L を用意します。
L は、考えている物理的システムがどんな特徴を持っているかを
表すもの（関数）です。

L が具体的にどんな式かというのは、今は気にしません。
一般的に、L が与えられたときに、どんな方程式を満たすか
という抽象的な議論をしようとしています。

L の入力は、関数 q(t) と その微分 dq/dt と 時間 t です。
それらを入力すると実数が出力されます。

この際、どんな実数が出力されるのかも考えません。
考えたいのは、L を 時刻 t1 ～ t2 まで積分した量：

　　S = ∫L(q, (dq/dt), t) dt

が最小になる条件は何かということです。

S は、作用と呼ばれるもので、これは q(t) の汎関数になっています。
ここでは、S[q] と書くことにします。

　汎関数というのは、関数を入力すると、数値が出力されるものです。

　数値を入力すると数値が出力されるものは関数と呼ばれますが、
　入力が関数というものは、少し抽象度が高いかもしれません。


また「細かい説明抜きに」という前置きを無視しそうになっているので、
以下、S[q] の停留条件

　　δS[q] = 0

を計算していきます。
ここで、δS[q] というのは、q を少しだけずらした (q + δq) にした際、
S がどれ位変化するかということなので、

　　δS[q] = S[q + δq] - S[q]

と書けます。
これを S の定義式に従って書き下すと、

　　δS[q] = ∫L(q+δq, (dq/dt)+δ(dq/dt), t) dt - ∫L(q, (dq/dt), t) dt

です。
そして、L(q+δq, (dq/dt)+δ(dq/dt), t) をテーラー展開します。

　　L(q+δq, (dq/dt)+δ(dq/dt), t) = L(q, (dq/dt), t)
　　　　　+ (∂L/∂q)δq + (∂L/∂(dq/dt))δ(dq/dt) + ...

この展開式を δS[q] の計算式に代入すると、

　　δS[q] = ∫(∂L/∂q)δq dt + ∫(∂L/∂(dq/dt))δ(dq/dt) dt

になります。


　この次は、積分計算を進めるために、部分積分をするのですが、
　どこをどうするのかは、答えをすぐに見たい気持ちを抑えて、
　今何がしたかったのかを思い起こしながら、式を眺めます。

　勉強したばかりだと、答えを覚えているので、スッと計算できます。
　でも、やり方を忘れてからが勝負です。
　忘れた後に残っている何かが、学習の成果です。

　やり方を忘れていても、残っている何かがあれば、
　第二項を部分積分したくなります。
　境界条件を使いたいのと、第一項の δq で括りたいと思ってしまうのです。


第二項の部分積分は、

　　∫(∂L/∂(dq/dt))δ(dq/dt) dt
　　　　　= [ (∂L/∂(dq/dt)) δq ] - ∫d(∂L/∂(dq/dt))/dt δq dt

と計算できます。
このときの [(∂L/∂(dq/dt)) δq] は、境界条件として、
t1 と t2 では δq = 0 なので、0 となります。
従って、

　　δS[q] = ∫(∂L/∂q)δq dt - ∫d(∂L/∂(dq/dt))/dt δq dt

になり、δq で括って、

　　δS[q] = ∫{ (∂L/∂q) - d(∂L/∂(dq/dt))/dt } δq dt

となります。

　最後は、変分法の基本補題として証明すべきことなのですが、
　δq が常に 0 でなければ、δS[q] = 0 とするには、
　括弧 {...} の中身が 0 でなくてはならないのは、想像できると思います。

これにより、

　　(∂L/∂q) - d(∂L/∂(dq/dt))/dt = 0

が導出できました。

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高野智暢