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ナブラとラプラシアンのはなし 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定！？」 
2017年11月8日号　VOL.076 
 
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予告通りに「ナブラとラプラシアン」について書きます。 
 
まず、ナブラとは何かを思い出す必要があります。 
以前に、スカラー場の微分はベクトル場になることを説明しました。 
 
　　https://www.sol-j.co.jp/mailmag/a-0069.html 
 
スカラー場φ の微分は ∇φ と書きますが、 
ここで出てくる「∇」という記号のことを「ナブラ」と呼びます。 
 
スカラー場というのは、3つの数で表される座標ベクトル (x,y,z) 
を与えると、1つの数値 φ(x,y,z) が返ってくる関数のことです。 
 
そのスカラー場の空間微分を式で書くと、 
 
　　∇φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z) 
 
というベクトルになっているのです。 
 
さて、前回の演算子（作用素）の話をスカラー場の空間微分に 
当てはめてみると、スカラー場に作用する ∇ が、 
 
　　∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) 
 
というベクトルで書けることになります。 
すると、この記号がとても便利なことが分かります。 
 
 
ベクトル場 E というものを考えてみます。 
E はベクトルなので、太字で書くか、上に矢印を書きたいところですが、 
このメルマガでは、そのように書けないので、ベクトルだと思って見て下さい。 
 
ベクトル場というのは、3つの数で表される座標ベクトル (x,y,z) 
を与えると、1つのベクトル E = (U, V, W) が返ってくる関数のことです。 
 
さて、ベクトル場の空間微分の一つに「発散」という量があります。 
これは、各点におけるベクトル場の流入や流出を表します。 
ベクトル場 E の発散を式で書くと、 
 
　　∇・E = ∂U/∂x + ∂V/∂y + ∂W/∂z 
 
になります。 
この式を見ても、∇ がベクトルのように扱える作用素だと分かります。 
ベクトル ∇ と ベクトル E の内積を取ったものと憶えておくことができます。 
 
 
同様に、∇ と E の外積を考えることができて、 
 
　　∇×E = (∂W/∂y - ∂V/∂z, ∂U/∂z - ∂W/∂x, ∂V/∂x - ∂U/∂y) 
 
と書けます。 
これは、ベクトル場 E の「回転」と呼ばれる量になります。 
 
 
最後に、∇ と ∇ の内積を考えてみます。 
これは、 
 
　　∇・∇ = (∂/∂x)(∂/∂x) + (∂/∂y)(∂/∂y) + (∂/∂z)(∂/∂z) 
 
になります。 
これは、ラプラシアンと呼ばれる二階微分作用素になっています。 
 
ラプラシアンは、△ という記号で表されるもので、 
スカラー場 φ の勾配 ∇φ というベクトルの発散 ∇・∇φ = △φ 
という量になります。 
 
 
ナブラやラプラシアンは、使いこなすのに時間がかかるかもしれませんが、 
一度身に付いてしまうと、多くの現象を理解するのに役立ちます。 
 
干渉計やX線CTでは、マクスウェル方程式が基礎にありますが、 
マクスウェル方程式の計算では、 
ナブラやラプラシアンをたくさん使うことになります。 
 
 
-- 
高野智暢