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ニュートンの冷却式 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定！？」 
2017年2月8日号　VOL.067 
 
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測定機を扱っていると、熱（温度）の問題によく遭遇します。 
そのときに役に立つのが、ニュートンの冷却式です。 
 
今回は、冷却の式を導出してみます。 
 
ある固体が空気（や液体）で冷やされていくときの 
温度の変化を式にしてみようということです。 
 
 
周りの空気の温度を T0 として、 
時間 t における固体の温度を T とします。 
 
空気と固体の温度差が大きいと、 
急速に冷えていき、 
温度差が小さくなると、 
冷え方が緩やかになることを思い出して、 
式にしてみます。 
 
このようなときは、微分方程式になります。 
 
　　dT/dt = (T0 - T)α 
 
こんな感じです。 
比例定数をαとして、温度差が大きいときに 
急速に冷える様子を表してみました。 
 
では、これを解いてみます。 
 
T0 - T を一つの変数に置き換えて、 
 
　　τ = T0 - T 
 
とします。 
微分方程式の T を消して、τで書き直すために、 
 
　　dτ = -dT 
 
となることを使うと、微分方程式は、 
 
　　-dτ/dt = τα 
 
になります。 
常套手段として、左辺をτ、右辺を t にまとめると、 
 
　　-dτ/τ = αdt 
 
と書けます。 
この両辺を積分してみます。 
 
　　-∫dτ/τ = α∫dt 
 
すると、積分を実行することができて、 
 
　　-log|τ| = αt + C 
 
になります。 
ここで、C は不定積分に出てくる積分定数です。 
両辺を指数関数の上に乗せると、 
 
　　τ = exp(-αt - C) 
 
と書けます。 
ここまで来れば、τを元の T0 - T に戻すことができて、 
 
　　T0 - T = exp(-αt - C) 
 
のように書けます。 
 
それでは、積分定数を決めるために、 
境界条件を考えます。 
 
まず、時間が十分に長く経過したときは、 
固体の温度が空気と同じになるという条件を 
式で書くと、 
 
　　t→∞ のとき、T = T0 
 
になります。 
でも、この条件式は、既に指数関数の性質によって 
満たされているので、ここまでの計算が上手くいっている 
確認にしかなりません。 
 
C を決める境界条件としては、固体の初期温度が適切です。 
時間 0 における固体の温度を Ti とすると、 
 
　　t=0 のとき、T = Ti 
 
という条件式になります。 
そして、積分定数の残った微分方程式の解に t=0 を代入すると、 
 
　　T0 - T = exp(-C) 
 
となるので、その時の T を Ti と置くという式を書き下すと、 
 
　　T = T0 - exp(-C) = Ti 
 
となります。つまり、 
 
　　exp(-C) = T0 - Ti 
 
と書けることが分かりました。 
これによって、積分定数を消去すると、 
 
　　T0 - T = exp(-αt)×exp(-C) = (T0 - Ti)exp(-αt) 
 
のようにすることができます。 
これを T= の式に直すと、 
 
　　T = T0 - (T0 - Ti)exp(-αt) 
 
とすることができました。 
これが、冷却の式です。 
 
 
これはすごい。頭の中で数学を駆使することで、 
物理法則を導くことができた。 
数学は万能で、物理法則を生み出せるのだ、 
と思うのは落とし穴です。 
 
ここまで微分方程式を使って、式を導くと、 
満足感から、数学の魅力で目が曇ってしまいます。 
 
 
実は、ここまでの導出は多くの仮説によって 
支えられているに過ぎません。 
 
実際、比例定数をαとまとめてしまいましたが、 
固体の表面積にも比例するという仮定を含めると、 
もう少し式を詳しくすることができます。 
 
そして何より、比例定数をαとおけば、 
微分方程式で表現できるということ自体が 
経験から来る仮説です。 
 
結局、ある意味答えを知っていたから展開できた導出 
だったということになります。 
 
このように出てきた式は、実験によって仮説を検証しなくては、 
意味を成しません。 
幸い、この冷却式は、多くの人によって検証されているようなので、 
比較的安心して使えます。 
 
「比較的」と書いたのは、この式がどんな場合でも厳密に成り立つ法則 
ではなく、多くの場合に使用して支障のない近似式だからです。 
 
 
では、このように数学を駆使して、現象を式で表すのは、 
意味のないことかというと、そうではなく、 
多くの人が意味のある考え方であることに賛同してくれる 
と思っています。 
 
利点を挙げるとたくさんあると思いますが、 
このように考えると、見通しが良くなり、 
応用が利いたり、より基本的な法則にたどり着いたりできます。 
 
丁度、応用方向と基礎方向の両方向に進むための 
一つの足場になっているような感じです。 

 
-- 
高野智暢 



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