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X線管内の平均自由行程 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定！？」 
2016年9月14日号　VOL.063 
 
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前回は、ボイル シャルルの法則 「pv/T = 一定 」 を使ってみました。 
 
今回は、まず理想気体の状態方程式を使ってみます。 
 
ボイル シャルルの法則の「一定」という部分は、 
物質量（モル）n と気体定数 R の積に書き直すことができます。 
そうしてできた式を「理想気体の状態方程式」と呼んでいます。 
 
理想気体の状態方程式は、 
 
　　pv = nRT 
 
と書くことができて、 
それぞれの記号の単位は、 
 
　　p [Pa] 
　　v [L] 
　　n [mol] 
　　R [Pa・L・mol^-1・K^-1] 
　　T [K] 
 
となります。 
 
 
さて、この式をX線管内の気体分子に適用してみます。 
 
方程式を変形して、 
 
　　n [mol] = (pv)/(RT) 
 
としておきます。 
X線を出すときの圧力は、10^-6 mbar なので、 
 
　　10^-6 mbar = 10^-4 Pa 
 
温度は、27℃とすると、T = 300K となり、 
体積は、v = 1L としておきます。 
Rは、定数なので、R = 8.314 × 10^3 で、p, v, R, T を代入すると、 
 
　　n = 4.0 × 10^-11 [mol] 
 
になります。 
アボガドロ数 6.22 × 10^23 を掛けると、1L に含まれている気体分子の個数は、 
 
　　2.4 × 10^13 個 
 
になります。 
 
X線管内は、高真空に引いているのですが、 
24000000000000 個もの分子がまだ残っていることになります。 
 
何だかとっても多い感じがしますが、 
1気圧（= 10^5 Pa）の数を計算してみると、 
 
　　2.4 × 10^22 個 
 
なので、 1000000000 分の 1 になっていることが分かります。 
 
 
分子の数が多すぎて、イメージしにくいので、 
平均自由行程 λ を計算してみます。 
 
平均自由行程は、 
 
　　λ = 1/((√2) μσ ) 
 
という式で計算できます。 
（導出は、いずれ機会があればご紹介します。） 
 
 
μは、数密度で 1m^3 に何個という量（単位は、[m^-3]）、 
σは、散乱の有効断面積 [m^2] です。 
 
 
窒素N2 の直径は 3.7 × 10^-10 m なので、 
 
　　σ = 4×(1.85 × 10^-10)^2 × π = 4.3 × 10^-19 m^2 
 
となり、 
 
　　μ = 2.4 × 10^13 個/1L = 2.4 × 10^16 [m^-3] 
 
なので、 
 
　　λ = 68 m 
 
です。 
 
つまり、X線を出すレベルの高真空であれば、 
気体分子は 68 m 進まなければ、衝突しないことになります。 
 
これを、1気圧の場合と比較してみます。 
1気圧では、気体分子は 0.068μm 進むと衝突してしまいます。 
 
高真空に引いたX線管内が如何にスカスカかイメージしやすくなったでしょうか。 
 
 
この高真空は、分子ターボポンプというもので引いています。 
中に金属の羽根が内蔵されており、1分間に90000回転という高速で回っています。 
この高速回転の羽根で分子を外に弾き出しているのです。 
 
1気圧では、分子が羽根に多く衝突するため、まだ高速回転はできません。 
しかし、真空度が上がってくるにつれて、 
分子が羽根に衝突する確率もかなり減ってくるので、回転数が上げられます。 
 
直接目で見ることはできない現象ですが、 
計算してみると、X線管内の様子をイメージすることができるようになります。 
 
 
-- 
高野智暢


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