◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

MSP の group index について

発行：エスオーエル株式会社
https://a13.hm-f.jp/cc.php?t=M380953&c=6090&d=eb6f

連載「知って得する干渉計測定技術！」
2023年4月19日号　VOL.193

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
干渉計による精密測定やアプリケーション例などをテーマに、
無料にてメールマガジンとして配信いたします。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇



こんにちは。

最近、市をまたぐ引越しをした関係で、
4月頭に娘の保育園を転園しました。

新しく、4人同じクラスに入園してきたのですが、
迎えに行っても私の娘以外は物怖じせず、
一切泣かずに玩具で遊んでいました。

私の娘は予想していた通り、初日は大泣き、
あらゆるドアを先生に開けさせ、ママを探していたそうです。
そんな娘で心配ですが、とても愛おしくも感じました。
早く慣れてくれるといいなと思います。



今日は、最近また問い合わせの増えてきた印象のある
MSPに関するお話しです。

MSPは透明品の Optical Thickness や
Optical Thickness Variation の測定が可能な装置です。

Optical Thickness と Optical Thickness Variation は、
屈折率分布を含む 厚み と TTV のことです。


厚み測定には、周波数解析という解析手法を使っています。

光源波長を約0.1nmずつ128ステップ変化させ、
干渉縞は『明るい～暗い』を繰り返します。

そして、その干渉縞の『明るい～暗い』を繰り返す回数(K)は、
光路長(厚みt×屈折率n)に比例します。

式で表すと、

　　t×n ＝ ある係数 × K　　----------(1)

となります。このある係数は、周波数感度Sfなので、

　　t ＝ K × Sf/n　　---------(1’)

Sfは以前メルマガで導出しており、
　（ https://a13.hm-f.jp/cc.php?t=M380954&c=6090&d=eb6f ）

測定開始時の光源波長を λs、
測定終了時の光源波長を λe とすると、
以下の式で表せます。

　　Sf ＝ λs × λe /{2(λs - λe)}　　-----------(2)

(1’)に(2)を代入すれば、厚みが求められます。

しかし、ここで問題が出てきました。
(1’)には屈折率が含まれていますが、屈折率は光源の波長に依存します。

そしてMSPは測定中に波長を変更させています。
困りました。
(1)のようにシンプルな式で表すために、この n を導出してみます。

まず、(1’)を変形しておきます。

　　n ＝ K × Sf/t　　----------(1”)

Kは、測定開始時と測定終了時の光路長が波長の何倍の長さなのか、
比較すると求められます。

測定開始時の光路長は、
 
　　Ps ＝ 2 × t × ns

です。これを ks × λs と置くと、

　　ks ＝ 2 × t × ns /λs　　----------(3)

となります。

測定終了時も同様にして、

　　ke ＝ 2 × t × ne /λe　　----------(4)

です。

ke - ks ＝ K　です。
この後使いやすいように、Kを変形しておきます。

　　K ＝ ke - ks
　　　＝ (2 × t × ne /λe) - (2 × t × ns /λs)
　　　＝ 2t{(ne × λs) - (ns × λe)} /(λe × λs)　　-------(5)

(1”)に、(5)と(2)を代入します。

　　n ＝ K × Sf/t
　　　＝ 2t × Sf{(ne × λs) - (ns × λe)}/ (λe × λs)} /t
　　　＝ 2{(ne × λs) - (ns × λe)} /(λe × λs)} × [(λs × λe)/{2(λs - λe)}]
　　　＝ 2{(ne × λs) - (ns × λe)} /{2(λs - λe)}
　　　＝ {(ne × λs) - (ns × λe)} /(λs - λe)　　-----------(6)

となります。
n が導出できました。この n を『group index』と呼んでいます。


実際に、group index n を求めてみます。

また、group index ではなく、
測定開始時の屈折率と終了時の屈折率の中間の屈折率を使用して
Optical Thickness を求めた場合、
どのくらいの影響があるのか計算してみます。

　条件:
　　・厚み 1mm (=1000000nm)
　　・測定開始時の光源波長 λs＝835nm
　　・測定終了時の光源波長 λe＝825nm
　　・測定開始時の屈折率 ns＝1.453
　　・測定終了時の屈折率 ne＝1.457

(6)式より、

　　n ＝ {(ne × λs) - (ns × λe)} /(λs - λe)
　　　＝ 1.787

となります。

仮に、group index の代わりに中間屈折率で
Optical Thickness を計算してみます。

(5)式より、

　　K ＝ ke - ks
　　　＝ (2t × ne /λe) - (2t × ns /λs)
　　　＝ 2t{(ne × λs) - (ns × λe)} /(λe × λs)
　　　≒ 51.88 [cycles]

(2)式より

　　Sf ＝ λs × λe /{2(λs - λe)}
　　　 ≒ 34.44 [μm/cycle]

よって、(1’)より、
Optical Thickness は、n に中間屈折率 n_m ＝ 1.455 を適応すると、

　　t ＝ K × Sf /n
　　　＝ 51.88 × 34.44 / 1.455 [μm]
　　　＝ 1.228 [mm]

この条件では、20％ 以上も異なる厚みが解析されてしまいました。


機種ごとに微妙に波長が異なりますが、
セルマイヤー係数があれば、装置が自動で group index を算出でき、
正しい厚みが出力されます。

予め入力しておけばよいのは、
以下の式の B1～B3, C1～C3 までの係数です。


　　n^2 - 1 = B1 λ^2 /(λ^2 - C1) + B2 λ^2 /(λ^2 - C2) + B3 λ^2 /(λ^2 - C3)


以上です。
最後までお読みいただきありがとうございました。


--
E.N