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Sensitivityの式の導出
 
発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/
 
連載「知って得する干渉計測定技術！」
2021年8月18日号　VOL.173
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
干渉計による精密測定やアプリケーション例などをテーマに、
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こんにちは、営業技術グループの佐々木です。

今回も日々の学びを整理して
Outputの場としていきたいと思います。


2次フリンジの考え方に繋がるものとして、
縞感度の導出を改めて学びました。
改めて基礎からしっかり学ぶことで、
日々使っている公式等の説明をすることの難しさを感じました。

縞感度の考え方や平面度の算出方法について、
式の導出方法から再度考えることが出来ましたので、
私の知識の整理にお付き合いください。

まずは、Sensitivityの考え方として、
同じ明るさの縞が2つ出ているとき、
縞Aと縞B間の厚みムラは、Sensitivity [μm/fr] と同じになります。
その縞は、プリズム面からの反射光とサンプル面からの反射光の
光路長差の位相差によって現れます。

そこでA地点とB地点のそれぞれの
プリズム面とサンプル面の反射光の光路長差の差分から
Sensitivity[μm]を導出していきます。


まずは、A地点のサンプル面からの反射光の光路長を考えていきます。
プリズム面へ光が入射角度θ’で入射する点をA（0,0）と置きます。
その後、屈折光がサンプル表面へ入射していきます。

サンプル面へ光がθで入射する点をBとします。
点Bは屈折することで、Aよりxだけ平行に移動し、
プリズム面とサンプル面とのGapである
Ga だけ垂直に移動した点（x,Ga）となります。

点Bから光が反射し、サンプル面へ再び接する点をCとします。
点Cは点AからBまでと同じ分だけ平行に移動しサンプル面へ戻るので、
点C（2x,0）となります。

この点A→B→Cまでの長さがサンプル面からの光の光路長となります。


次に、プリズム面からの反射光の光路長を考えます。
点Cから、点Aでの反射光へ向かって垂線を引き、
その交点を点Dとします。
なので、点A→Dまでの長さ×屈折率が
Gap内の点A→B→Cを進む間のプリズム面からの光路長となります。


このプリズム面とサンプル面の反射光の光路長差を導出していきます。


点A→B→Cの長さを考えます。
線分ABの長さを考えるため、
点Bからプリズム面への垂線を引き、交点E（x,0）とします。
線分ABは△ABEの斜辺となるので、
∠B＝θ とプリズム面とサンプル面とのGapからcosの三角比より

　　AB = Ga / cosθ ・・・ (1)

よって長さABCは線分ABの2倍なので

　　ABC = 2Ga / cosθ ・・・ (2)

となります。


次に、点A→Dの長さを考えます。
△ACDの線ADの長さを考えるので、まず斜辺ACを考えます。
斜辺ACは線分AEの2倍であり、線分AEが△ABEのtanの三角比から

　　AE = Ga tanθ ・・・ (3)

となるので、

　　AC = 2Ga tanθ ・・・ (4)

となります。

線分ACは△ACDの斜辺となるので、
∠C＝θ’より、sinの三角比を用いて線ADを求めると

　　AD = 2Ga tanθ sinθ’ ・・・ (5)

また、屈折率nの媒質を通る光の波長λ’は、

　　λ’n = λ

となるので、ADの光路長は、プリズムの屈折率nをかけて、

　　n×AD = 2Ga n tanθ sinθ’ ・・・ (6)

となります。


ここで、サンプル面の反射光の光路長差Aは
（6）-（2）となるので、

　　2Ga / cosθ - 2Ga n tanθ sinθ’ ・・・ (7)


さらに、スネルの式より、

　　1×sinθ = n×sinθ’

であり、また、

　　tanθ = sinθ / cosθ

より、（7）は、

　　2Ga(1 - sin^2θ) / cosθ ・・・ (8)

となり、

　　cos^2θ = (1 - sin^2θ)

より、

　　光路長差A = 2Ga cosθ

となります。


続いて、B地点のサンプル面からの反射光の
光路長を考えていきます。

B地点はA地点と同じ明るさの縞が出ている次の場所なので、
Sensitivity[μm]と同じ厚みムラがあると考えます。
そこで、GapをGbとして光路長差を算出すると、

　　光路長差B = 2Gb cosθ

となります。


光路長差Aを波長λで割ると波の数が分かります。
光路長差Aの波の数の結果をmとすると、

　　2Ga cosθ / λ = m ・・・ (9)

です。
B地点はA地点と同じ明るさの縞が次に出ている場所なので、
位相差が0から360°に戻った点、
つまり光路長差Bは光路長差Aと比較すると1波長分波が多いと考えます。
そこで光路長差Bを波長λで割ると波の数は、

　　2Gb cosθ / λ = m + 1 ・・・ (10)

となりますので、
（10）-（9）より、

　　2Gb cosθ / λ - 2Ga cosθ / λ = 1 

となり、

　　2(Gb - Ga) cosθ = λ ・・・ (11)

となります。
ここで、厚みムラ (Gb - Ga) を S とすると、

　　2S cosθ = λ ・・・ (12)

となり、Sensitivity の式である

　　S = λ / 2cosθ

が導出されました。


今回は以上です。
少し長くなってしまいましたが、
最後までお付き合いいただきありがとうございました。


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H.S