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レンズの収差について -その３- 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「知って得する干渉計測定技術！」 
2017年12月27日号　VOL.136 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
干渉計による精密測定やアプリケーション例などをテーマに、 
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皆様こんにちは。営業技術グループの桑野です。 
 
 
2017年最後のメルマガとなりました。 
タイトルにもありますように、今回も『収差』について引き続き 
見ていきたいと思います。 
 
 
前回はザイデルの式より、収差による横ずれ量、縦ずれ量がどのような 
パラメータで構成されているか確認しました。 
この式から、各収差についてもう少し詳しく見ていこう、というところでしたね。 
ザイデルの式は以下です。 
 
 
ΔX = A(r^3)sinφ + B(r^2)y sin2φ + Cr(y^2)sinφ 
ΔY = A(r^3)cosφ + B(r^2)y(2 + cos2φ) + (C + D)r(y^2)cosφ + E(y^3) 
 
ΔX：収差による横ずれ量 
ΔY：収差による縦ずれ量 
r：光線通過点のレンズ射出瞳上の極座標の径 
φ：光線通過点のレンズ射出瞳上の極座標の角度 
y：物体の高さ（入射高） 
 
 
上記式のA、B、C、D、Eという係数がそれぞれ球面収差、コマ収差、非点収差、 
像面湾曲、歪曲収差の収差係数でしたね。 
では早速ですが、１つずつ見ていきましょう。 
 
 
まずはAの球面収差についてです。 
球面収差だけに注視したいため、B～Dを0とします。 
 
 
ΔX = A(r^3)sinφ 
ΔY = A(r^3)cosφ 
 
 
sinφとcosφを消去するために両辺を2乗して足し合わせます。 
 
 
(ΔX)^2 + (ΔY)^2 = (A(r^3))^2 
 
 
円の方程式と同じ形になりました。 
つまり、球面収差の係数Aが残っている（0ではない）場合、理想の結像点ではなく、 
理想の結像点を中心としてr（光線通過点のレンズ射出瞳上の極座標の径）の3乗に比例した 
半径の円が発生することとなります。 
また、rの3乗でずれの大きさが比例するため、大口径レンズの周辺で大きく球面収差の 
影響が出ることが分かります。 
 
 
この調子で次にBのコマ収差を見ていきましょう。 
同様に、係数Bを除くA～Eを0とします。 
 
 
ΔX = B(r^2)y sin2φ 
ΔY = B(r^2)y(2 + cos2φ) 
 
 
球面収差の時と同様に、sinφとcosφを消去するために変形します。 
縦ずれ量の式を展開します。 
 
 
ΔY - 2B(r^2)y = B(r^2)y cos2φ 
 
 
両辺を2乗し、足し合わすと、以下の式となります。 
 
 
(ΔX)^2 + (ΔY - 2B(r^2)y)^2 = (B(r^2)y)^2 
 
 
つまり、コマ収差の係数Bが残っている場合、理想の結像点から縦（Y軸）方向に 
2B(r^2)yだけ離れた位置に中心を持つ、半径B(r^2)yの円となります。 
従って、極座標の径rの2乗と入射高yに比例して、 
移動しながら円の大きさは変化することが分かります。まるで台風のようですね。 
 
 
次は非点収差の係数Cと像面湾曲の係数Dについてです。 
CとDは同じ変数がかかっているので、2つまとめて考えます。 
今までと同様にA、B、Eを0として考えますが、CとDのどちらかが0の場合と、 
C + D = 0の場合に分けて考えます。 
 
 
まず、C = 0の場合は、 
 
 
ΔX = 0 
ΔY = Dr(y^2)cosφ 
 
 
となり、C + D = 0の場合は、 
 
 
ΔX = Cr(y^2)sinφ 
ΔY = 0 
 
 
となります。 
C = 0の時は入射高yの2乗と極座標の径rに比例して非点収差の縦ずれが起き、 
C + D = 0の時は横ずれが生じます。 
 
 
では、D = 0の場合はというと、ABと同様に円の方程式に当てはまります。 
 
 
(ΔX)^2 + (ΔY)^2 = (Cr(y)^2)^2 
 
 
つまり、D = 0の時、極座標の径rと入射高yの2乗に比例した半径の円のように、 
縦も横もずれる像面湾曲が発生することが分かります。 
これらもrに比例するため、絞りをしぼることで多少なり影響を軽減することが可能であると 
分かります。 
 
 
最後に歪曲収差の係数Eについてです。 
同様にA～Dを0とすると、 
 
 
ΔX = 0 
ΔY = E(y^3) 
 
 
となり、入射高のみが変数として表されます。 
従って、光線は一点に収束するが、入射高yが大きくなるにつれ、その3乗に比例して 
理想の結像点からずれる、ということです。 
また、係数Eの値によって、樽型になるか糸巻型になるかに分かれるようです。 
 
 
まだまだ調べれば調べるほど細かい内容が出てきますが、一先ず収差については 
ここまでとします。 
 
 
最後までお読みいただきありがとうございました。 
来年も宜しくお願い致します。良いお年を。 
 
 
-- 
桑野 
 
 
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◎展示会・学会情報◎   
　・エレクトロテストジャパン2018 (ネプコンジャパン) 
　　　日時：2018/1/17(水)～19(金) 
　　　場所：東京ビッグサイト　東4ホール (小間番号 E31-14) 
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