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材料力学(vol.002)：保持方法による変形と曲げ応力

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「知って得する干渉計測定技術！」
2010年9月10日号　VOL.025

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
干渉計による精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
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本連載 VOL.023 にて、
高精度に形状を測定する際の保持方法への配慮について触れました。

今回はその続きとして、「曲げ応力」について考えてみます。


高精度に測定しようとしているので、
物体に余計な力をかけないように十分配慮はするのですが、
地球上で測定する限り重力が常に働いていますので、
自重によるたわみが問題となることが多々あります。

ちょっとした支え方の違いが物体を曲げてしまうのです。


まず、問題を単純化して、どこかで適当に支えられた細い棒を考えます。

どこをどう支えるかは、具体的な応用問題に入ってしまいますので、
支え方によらない一般的な話から始めます。
ただ、イメージとして、棒の両端がそれぞれ支点の上に乗って、
横たわっている様子を思い浮かべてみて下さい。

その棒の一部分に注目してみます。

棒が薄い板の積み重ねでできていると想像して、
棒が下向きに凸でたわんでいるのであれば、
上の薄い板は縮んでいて、下の薄い板は伸びている様子が想像できます。

一本の棒を薄い板に分割して考えているので、
上に近づけばより縮み、下に近づけばより伸びている状況から、
どこかに伸びても縮んでもいない薄い板が存在するはずです。

これを「中立面」と呼びます。
以下、その面を横から見た断面を考えます。面の断面なので線に見えます。
これを「中立軸」と呼びます。


中立軸の曲率半径を r とします。（その円の中心を 点O としておきます。）
中立軸から下向きに座標を取り、その距離を y とします。
中立軸の微小領域を取り、長さを dx とします。

中立軸から距離 y の位置にある薄い板は伸びていますので、
たわんでなければ中立軸の微小領域と同じ長さ dx だった部分は、少し伸びて、
　　dx + εdx
になっています。

さて、点Oを中心とした円弧 dx の作る 扇形S1 と、
同じく点Oを中心とした円弧 dx + εdx の作る 扇形S2 は、
S1の領域を共通として、重なっています。

S1の半径は r ですが、S2の半径は (r + y) です。

S1 と S2 は相似であることから、r : r+y = dx : dx+εdx です。書き直すと、

　　(r+y)/r = (dx+εdx)/dx

となります。変形していくと、r+y = r(1+ε) から、y = rε となり、

　　ε = y/r

が得られます。
ここで、εは前回定義した「ひずみ」（つまり、単位長さ当たりの伸び）ですから、
フックの法則より、

　　σ = Eε = Ey/r

となります。これは、「曲げ応力」と呼ばれています。

この式からも分かるように、y=0 の中立面では、曲げ応力は σ=0 となります。



今後、曲げについて考えていくと、
「曲げモーメント」、「断面二次モーメント」、「曲げ剛性」など
といった概念を理解する必要があります。

似たような名前があったり、先入観で勝手な解釈をしたりと、
理解の妨げになる要因はいろいろあります。

専門書には、正確な定義が書いてありますが、
誤解のないように厳格に記述されていることや、
広い関連知識に言及するために読者が目的を見失いがちになることなどから、
字面を追うだけでは、睡魔という強敵と出会うことになります。


また、続きをメールマガジンにて紹介したいと思っていますが、
少しでも何かのお役に立てたら幸いです。

そして、曖昧な理解では問題解決はおろか、
技術者同士のコミュニケーションもできませんので、
我々自身も日々精進して、アプリケーション開発に取り組んでいきます。


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高野智暢