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等速円運動の向心力

発行：エスオーエル株式会社
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連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2023年1月11日号　VOL.143

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遠心力の式の導出は、どうやるのだったかな
と思い立ったら、しばらくはそのことで頭が一杯になります。

とりあえず、導出のルートが二通り思い付くので、
そのうちの一つについて頭の中で計算を始めます。

こういうのを考えるのは楽しいです。

どこまで暗算できるかやってみるのですが、
今回は集中力が足りず、紙に書き出しました。


まず、等速円運動を考えます。
半径 r の円上を (dθ/dt) の角速度で回っている状況です。
等速なので、 (dθ/dt) = ω としておきます。
（このとき、速度 v は rω になります。）

定石（定番のやり方）として、2次元極座標系を取ります。

　　x = r cosθ
　　y = r sinθ

x方向とy方向の速度を計算するために、微分します。

　　(dx/dt) = (-r sinθ)(dθ/dt)
　　(dy/dt) = ( r cosθ)(dθ/dt)

加速度を計算するために、もう一回微分します。

　　d(dx/dt)/dt = (-r cosθ)(dθ/dt)^2 + (-r sinθ)(dω/dt)
　　d(dy/dt)/dt = (-r sinθ)(dθ/dt)^2 + ( r cosθ)(dω/dt)

(dω/dt)=0 なので、

　　d(dx/dt)/dt = (-r cosθ)ω^2
　　d(dy/dt)/dt = (-r sinθ)ω^2

となります。
ここで、ニュートンの運動方程式を思い出すと、

　　Fx = m d(dx/dt)/dt
　　Fy = m d(dy/dt)/dt

なので、

　　Fx = m (-r cosθ)ω^2
　　Fy = m (-r sinθ)ω^2

です。
それでは、ベクトル (Fx, Fy) の大きさ F を求めてみます。

　　F = √{ (Fx)^2 + (Fy)^2 }
　　　= mrω^2 √{ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 }
　　　= mrω^2

これで、無事 F = mrω^2 が出てきました。
次に、ベクトルの方向は、(-x, -y) なので、中心に向いています。


あぁ、これは「向心力」だなと思い出し、
「遠心力」は、これに釣り合う逆向きの力だったと思ったところで、

物理でよくある議論を思い出します。

遠心力は見かけの力です。

慣性系の話を始めると長くなるので、ここで書くのをやめます。

こうやって芋づる式にいろいろなことを何度も思い出して
日々を過ごしていると退屈しません。


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高野智暢