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平行六面体の対角線の長さ

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2022年4月13日号　VOL.134

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6枚の正方形で立体を作ると、立方体ができます。
同じように、6枚の平行四辺形で立体を作ると、
平行六面体ができます。

三次元（座標）測定機を調整していると、
平行六面体の計算をその場でやる必要に迫られることがあります。

今回は具体例で、平行六面体の対角線の長さの計算をしてみます。

考える状況は、X,Y,Z の直交軸を持った測定機で、
立方体を測定します。
測定機の可動範囲は、どの軸も 400mm とします。

測定機の座標軸は、一辺 400mm の立方体に沿っている状態が
理想ですが、直角が出ていないと、平行六面体に沿う形になります。

平行六面体の頂点に名前を付けておきます。
X軸を OA、Y軸を OB、Z軸を OC とします。
XY平面内の平行四辺形を OADB とし、
それを OC の方向に平行移動したものを CEGF とします。

これで、平行六面体 OADB-CEGF になります。
点 O から一番遠い点は、点 G です。

このような空間図形を考えるとき、ベクトルを使うと便利です。
ベクトル a, b, c をそれぞれ

　　a = OA = (400, 0, 0)
　　b = OB = (400 cosα, 400 sinα, 0)
　　c = OC = (δ1, δ2, ξ)

とします。
ここまでセットアップすれば、必要な数値を計算することができます。


まずは、X軸とY軸を直角にしたいので、αを測定したいです。

OD 方向に 400mm の棒を置いて測定すると、
α < 90°であれば、棒は 400mm よりも短く測定されてしまいます。
OADB が正方形であれば、｜OD｜ = ｜AB｜ ですが、
α < 90°ならば、｜OD｜ > ｜AB｜ になります。

ここで、混乱しやすいポイントがあります。
測定機の OD が 長くなった分、400mm の棒は短く測定されます。
OD の長さは、

　　｜OD｜ = ｜a+b｜
　　　　　 = 400 √{ (1+cosα)^2 + (sinα)^2 }
　　　　　 = 400 √{ 2 + 2cosα }

です。
同様に、AB の長さは、

　　｜AB｜ = ｜a-b｜
　　　　　 = 400 √{ 2 - 2cosα }

です。
α = 90°のとき、｜OD｜ = ｜AB｜ = 400 √2 なので、
短く測定されるときの倍率は、1/√(1+cosα) 、
長く測定されるときの倍率は、1/√(1-cosα) です。

実際に 400mm の棒を測定した結果が、
OD 方向で、399.99mm （0.01mm 短い）となった場合、
α = 89.997°です。

このとき、AB 方向で測定すると、
400.01mm （0.01mm 長い）となるはずです。
（ならなかった場合は、別の調整が必要です。）

このように Y軸が本来の方向に対して、0.003°傾いている
ということが分かれば、これを調整します。

一辺 400mm の正方形にするには、
平行にずれたオフセット分（δ0）を戻してあげればよいので、

　　δ0 = 400 cosα = 0.02mm 

の調整となることが分かります。


X軸とY軸の直角が調整できたら、次は Z軸の倒れを調整します。
Z軸の倒れは、X軸方向（δ1）と Y軸方向（δ2）があります。

その計算準備として、ベクトル c の Z成分 ξ を計算しておきます。
｜c｜= 400 なので、

　　ξ = √{ 400^2 -(δ1)^2 -(δ2)^2 }

です。
次に、平行六面体の対角線 OG, AF, DC, BE の長さを求めます。

　　｜OG｜ = ｜a+b+c｜ = √{ 3*400^2 + 800*(δ1 + δ2) }

　　｜AF｜ = ｜a-b-c｜ = √{ 3*400^2 + 800*(-δ1 + δ2) }

　　｜DC｜ = ｜a+b-c｜ = √{ 3*400^2 + 800*(-δ1 - δ2) }

　　｜BE｜ = ｜a-b+c｜ = √{ 3*400^2 + 800*(δ1 - δ2) }


もし、δ1 = δ2 = 0 の立方体になっていた場合は、

　　｜OG｜ = ｜AF｜ = ｜DC｜ = ｜BE｜ = 400 √3

となるはずです。
従って、400 √3 に対して、上記の式との比を取ることで、
各方向の伸縮倍率を計算することができます。

例えば、OG, AF, DC, BE の方向でそれぞれ、

　　L1 = 399.9933
　　L2 = 400.0033
　　L3 = 400.0067
　　L4 = 399.9967

という測定結果が得られたとします。
（同様に、400 に対して比を取ることで、倍率が出ます。）

求めたい δ1, δ2 に対して、独立な方程式の数は足りていますので、
解くことができます。

今の場合、

　　δ1 = 0.015 mm
　　δ2 = 0.005 mm

となります。


もし、このような調整を理屈も分からずに、
行き当たりばったりの手探りでやっていると、
いつまでたっても終わりません。

ベクトルの計算ができると、測定結果を見て、何が起こっているのか
知ることができるので、調整を円滑に実施できます。


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高野智暢