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三角関数の3倍角の公式

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年12月8日号　VOL.130

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前回は、三角関数の3倍角の公式：

　　sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin^3(θ)

を使いました。
今回は、この公式を導出します。


＜方法1＞

オイラーの公式：

　　exp(iθ) = cosθ + i sinθ

を使います。

　　exp(i3θ) = { exp(iθ) }^3
　　　　　　　= ( cosθ + i sinθ )^3
　　　　　　　= ( cos^2θ - sin^2θ + 2i cosθsinθ )( cosθ + i sinθ )
　　　　　　　= cos^3θ - cosθsin^2θ - 2cosθsin^2θ + i(cos^2θsinθ - sin^3θ + 2cos^2θsinθ)
　　　　　　　= cos^3θ - 3cosθsin^2θ - i sin^3θ + 3i cos^2θsinθ
　　　　　　　= cos^3θ - 3cosθ(1-cos^2θ) - i sin^3θ + 3i sinθ(1-sin^2θ)
　　　　　　　= 4cos^3θ - 3cosθ + i( -4sin^3θ + 3sinθ )

一方で、

　　exp(i3θ) = cos(3θ) + i sin(3θ)

なので、実部と虚部を比較して、

　　cos(3θ) =  4cos^3θ - 3cosθ
　　sin(3θ) = -4sin^3θ + 3sinθ

が得られました。


＜方法2＞

せっかくなので、別の方法で導出してみます。
今度は、加法定理：

　　sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
　　cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ

を使ってみます。
まず、sin(α+β) について、α=θ、β=2θ として、

　　sin(3θ) = sin(θ+2θ)
　　　　　　 = sinθ cos(2θ) + cosθ sin(2θ)
　　　　　　 = sinθ (cosθ cosθ - sinθ sinθ) + cosθ (sinθ cosθ + cosθ sinθ)
　　　　　　 = sinθ cos^2θ - sin^3θ + sinθ cos^2θ + cos^2θ sinθ
　　　　　　 = 3sinθ (1-sin^2θ) - sin^3θ
　　　　　　 = -4sin^3θ + 3sinθ

のように計算できます。


3倍角の公式などは、公式集を見ればよいのですが、
自分にとっては、この導出はもはや娯楽です。

公式を使うときは、記憶違いがあるといけないので、公式集を見ます。
（導出に時間を掛けて、本題の完成が遅れるのもよくないので。）
いつも手元にあるのは、「岩波数学公式」の3冊セットです。

でも、本題が片付いた後、気分転換というか、気晴らしというか、
まさに娯楽として、使った公式の導出をやりたくなります。

初めて取り組む導出は、ワクワクします。
自力でできるものもあれば、
長い歴史の中で天才達が作った公式は、ノーヒントでは難しいので、
できるだけ少ないヒントで解こうとしてみます。

過去に導出をしたことがある公式も、
人間というのは忘れるという特技があるので、
忘れた後に、（記憶を思い出して解くのではなく、）考えて解くのは楽しいです。

忘れることで、何度も楽しめます。


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高野智暢