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Zernike多項式からLegendre多項式への変換の一例

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年11月10日号　VOL.129

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Zernike  多項式は、円形領域内の形状を成分に分解する場合に使います。
Legendre 多項式は、矩形領域内の形状を成分に分解する場合に使います。

これらの多項式に共通する重要な性質が「完全系」及び「直交系」であることです。
その性質があるため、成分に分解できます。


最近、Zernike の 3-point 3rd order Coma Y を
Legendre 多項式で表したいというイベントが発生しました。

計算してみると、案外きれいに変換できました。
結果を先に書いておくと、「Zernike」「Legendre」「XY-Poly」
として表した以下の3つの式が同じです。


【結果】

　　Zernike  : Z[11](R,θ) = R^3 sin(3θ)

　　Legendre : L(X,Y) = 0.4 Y + 2 P[2](X)*Y - 0.4 P[3](Y)

　　XY-Poly  : F(X,Y) = 3 X^2 Y - Y^3


【計算】

まず、極座標 (R,θ) から 直交座標 (X,Y) への変換を考えると、

　　R sin(θ) = Y
　　R cos(θ) = X

です。（以下の計算では、sin の式を使います。）また、

　　R^2 = X^2 + Y^2

も言えます。
続いて、Zernike の Z[11] は、sin(3θ) を含んでいますので、
3倍角の公式

　　sin(3θ) = 3 sin(θ) - 4 sin^3(θ)

を使います。
従って、Zernike の Z[11] は、

　　Z[11] = R^3 sin(3θ)
　　　　　= 3 R^3 sin(θ) - 4 R^3 sin^3(θ)
　　　　　= 3 R^2 R sin(θ) - 4 { R sin(θ) }^3
　　　　　= 3 (X^2 + Y^2) Y - 4 Y^3
　　　　　= 3 X^2 Y + 3 Y^3 - 4 Y^3
　　　　　= 3 X^2 Y - Y^3

という XY の多項式で書けることが分かります。

一方、Legendre 多項式においては、

　P[2](X) = (3 X^2 - 1)/2
　P[3](Y) = (5 Y^3 - 3Y)/2

です。
従って、関数 L として、Y, P[2](X)*Y, P[3](Y) の一次結合を作り、
式を展開すると、

　　L = 0.4 Y + 2 P[2](X)*Y - 0.4 P[3](Y)
　　　= 0.4 Y + 2Y (3 X^2 - 1)/2 - 0.4 (5 Y^3 - 3Y)/2
　　　= 0.4 Y + 3 X^2 Y - Y - Y^3 + 0.6 Y
　　　= 3 X^2 Y - Y^3

のように計算できます。
これにより、冒頭で挙げた 3つの式が同じということが示せます。
　

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高野智暢