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ガウシアンフィルタ2回の計算

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年10月27日号　VOL.128

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今回は、ガウシアンフィルタを2回連続で掛けると
どうなるか計算しました。

結果は、幅が U [mm] と V [mm] のフィルタ2回は、
√(U^2 + V^2) のフィルタ1回と等価になります。


【関連記事のリンク】

フィルタの種類と特徴：
　　https://www.sol-j.co.jp/mailmag/d-0018.html

振幅伝達率の計算：
　　https://www.sol-j.co.jp/mailmag/a-0046.html


【計算】

波長λで振幅 A0 の正弦波は、
カットオフ U のガウシアンによって、

　　A1 = A0 exp{ -π(aU/λ)^2 }

のように、振幅が A1 に減衰します。

ガウシアンを2回掛ける操作は、
A1 に減衰した正弦波を更に指数関数で A2 に減衰させること
になるので、

　　A2 = A1 exp{ -π(aV/λ)^2 }

となります。
A0 から A2 への減衰率を計算するために、式を展開すると、

　　A2 = A0 exp{ -π(aU/λ)^2 } exp{ -π(aV/λ)^2 }
　　　 = A0 exp{ -π(aU/λ)^2 -π(aV/λ)^2 }
　　　 = A0 exp{ -π(a/λ)^2 ×(U^2 + V^2) }

となります。
ここで、W = √(U^2 + V^2) と置けば、

　　A2 = A0 exp{ -π(aW/λ)^2 }

となり、幅が W [mm] のガウシアン1回になります。


例として、ガウシアン 3mm と 5mm を連続して掛けた場合は、
√(3^2 + 5^2) = 5.83 mm
のガウシアン1回と同じ結果となります。


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高野智暢