logo

logo

メールマガジン・新着情報一覧

  1. TOP
  2. メールマガジン・新着情報一覧
  3. A-0125. rot rot の計算 –TT

2021.08.11

A-0125. rot rot の計算 –TT

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

rot rot の計算

発行:エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定!?」
2021年8月11号 VOL.125

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
無料にてメールマガジンを配信いたしております。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇



光やX線を含む、電磁波について、
その性質をよく知ろうと思えば、
マクスウェル方程式は避けて通れません。

電磁波という名前からも分かるように、
電気や磁気の波の性質は、統一的に扱うことができます。
それは、基礎方程式であるマクスウェル方程式が
あるからです。

マクスウェル方程式は、ベクトル場に関する
連立偏微分方程式であり、

  div E = 4πρ
  div H = 0
  rot E = -(1/c) ∂H/∂t
  rot H = (1/c) ∂E/∂t + (4π/c)j

という形をしています。

書き方も、この一通りではなく、意図によって、
いろいろな表現方法があります。

そして、慣れないと、
扱うのはハードルが高いものかと思います。

何に慣れる必要があるかというと、
電磁場の性質を知りたいのであれば、
式の扱いを数学的に慣れるのではなく、
数学に惑わされずに、物理的な本質の表現であること
を忘れないことに慣れる必要があります。

結局、そのためには、数学に慣れる必要があります。

  英語で物語を読む状況に似ています。
  英文法に慣れることを、数学に慣れることに対応させると、
  物語を楽しむことは、物理的な本質を見ることに
  対応するでしょうか。

  英文法を知らなければ、物語を読むことはできません。
  でも、英文法を知っているだけでも、物語は読めません。
  英文法を気にしなくてもよい位に基礎が身に付いていると、
  物語が自然に入ってきます。


さて、マクスウェル方程式のままでは、
波という性質が隠れて見えません。

波の性質を見るには、波動方程式を導出する必要があります。
導出は、次回以降に残しておくことにして、
今回は、そのときに必要となる公式を求めておきます。


ベクトル場 E = (a, b, c) に対して、
rot rot E を計算します。

  ベクトル場というのは、空間の (x, y, z) を指定すると、
  ベクトル (a, b, c) が返ってくるベクトル値関数のことです。

  ベクトル場を理解するためには、ベクトルをよく知っている
  必要があり、関数の考え方も身に付いている必要があります。

ここで、rot というのは、ベクトル解析で使う「回転」と呼ばれる
演算子です。

  rot E = (∂c/∂y - ∂b/∂z, ∂a/∂z - ∂c/∂x, ∂b/∂x - ∂a/∂y)

rot は、ベクトルをベクトルに対応させる演算子なので、
2回適用しても、やはりベクトルになります。

そこで、2回適用した rot rot E の x 成分だけを計算してみると、

  (∂/∂y)(∂b/∂x - ∂a/∂y) - (∂/∂z)(∂a/∂z - ∂c/∂x)
  = (∂^2b/∂x∂y + ∂^2c/∂x∂z) - (∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2)
  = (∂/∂x)(∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z) - (∂^2a/∂x^2 + ∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2)

となります。

ここで、ベクトル解析で使う「発散」と呼ばれる演算子 div は、
  
  div E = ∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z

であり、「ラプラシアン」と呼ばれる演算子 Δ は、

  Δa = ∂^2a/∂x^2 + ∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2

なので、rot rot E の x 成分は、

  (∂/∂x) div E - Δa

となります。
同様に計算すると y 成分は、

  (∂/∂y) div E - Δb

となり、z 成分は、

  (∂/∂z) div E - Δc

となります。
これらをまとめると、

  rot rot E = ((∂/∂x) div E - Δa, (∂/∂y) div E - Δb, (∂/∂z) div E - Δc)

と書けます。
さて、ベクトル解析で使う「勾配」と呼ばれる演算子 grad は、

  grad = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

のような形をしているので、

  rot rot E = grad div E - ΔE

という公式が得られました。
今後は、この公式が活躍します。


--
高野智暢

一覧に戻る

お問い合わせ Contact

048-441-1133

お問合せフォーム