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rot rot の計算

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年8月11日号　VOL.125

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光やX線を含む、電磁波について、
その性質をよく知ろうと思えば、
マクスウェル方程式は避けて通れません。

電磁波という名前からも分かるように、
電気や磁気の波の性質は、統一的に扱うことができます。
それは、基礎方程式であるマクスウェル方程式が
あるからです。

マクスウェル方程式は、ベクトル場に関する
連立偏微分方程式であり、

　　div E = 4πρ
　　div H = 0
　　rot E = -(1/c) ∂H/∂t
　　rot H = (1/c) ∂E/∂t + (4π/c)j

という形をしています。

書き方も、この一通りではなく、意図によって、
いろいろな表現方法があります。

そして、慣れないと、
扱うのはハードルが高いものかと思います。

何に慣れる必要があるかというと、
電磁場の性質を知りたいのであれば、
式の扱いを数学的に慣れるのではなく、
数学に惑わされずに、物理的な本質の表現であること
を忘れないことに慣れる必要があります。

結局、そのためには、数学に慣れる必要があります。

　　英語で物語を読む状況に似ています。
　　英文法に慣れることを、数学に慣れることに対応させると、
　　物語を楽しむことは、物理的な本質を見ることに
　　対応するでしょうか。

　　英文法を知らなければ、物語を読むことはできません。
　　でも、英文法を知っているだけでも、物語は読めません。
　　英文法を気にしなくてもよい位に基礎が身に付いていると、
　　物語が自然に入ってきます。


さて、マクスウェル方程式のままでは、
波という性質が隠れて見えません。

波の性質を見るには、波動方程式を導出する必要があります。
導出は、次回以降に残しておくことにして、
今回は、そのときに必要となる公式を求めておきます。


ベクトル場 E = (a, b, c) に対して、
rot rot E を計算します。

　　ベクトル場というのは、空間の (x, y, z) を指定すると、
　　ベクトル (a, b, c) が返ってくるベクトル値関数のことです。

　　ベクトル場を理解するためには、ベクトルをよく知っている
　　必要があり、関数の考え方も身に付いている必要があります。

ここで、rot というのは、ベクトル解析で使う「回転」と呼ばれる
演算子です。

　　rot E = (∂c/∂y - ∂b/∂z, ∂a/∂z - ∂c/∂x, ∂b/∂x - ∂a/∂y)

rot は、ベクトルをベクトルに対応させる演算子なので、
2回適用しても、やはりベクトルになります。

そこで、2回適用した rot rot E の x 成分だけを計算してみると、

　　(∂/∂y)(∂b/∂x - ∂a/∂y) - (∂/∂z)(∂a/∂z - ∂c/∂x)
　　= (∂^2b/∂x∂y + ∂^2c/∂x∂z) - (∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2)
　　= (∂/∂x)(∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z) - (∂^2a/∂x^2 + ∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2)

となります。

ここで、ベクトル解析で使う「発散」と呼ばれる演算子 div は、
　　
　　div E = ∂a/∂x + ∂b/∂y + ∂c/∂z

であり、「ラプラシアン」と呼ばれる演算子 Δ は、

　　Δa = ∂^2a/∂x^2 + ∂^2a/∂y^2 + ∂^2a/∂z^2

なので、rot rot E の x 成分は、

　　(∂/∂x) div E - Δa

となります。
同様に計算すると y 成分は、

　　(∂/∂y) div E - Δb

となり、z 成分は、

　　(∂/∂z) div E - Δc

となります。
これらをまとめると、

　　rot rot E = ((∂/∂x) div E - Δa, (∂/∂y) div E - Δb, (∂/∂z) div E - Δc)

と書けます。
さて、ベクトル解析で使う「勾配」と呼ばれる演算子 grad は、

　　grad = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

のような形をしているので、

　　rot rot E = grad div E - ΔE

という公式が得られました。
今後は、この公式が活躍します。


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高野智暢