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微分方程式の例：タンクの排水

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年3月10日号　VOL.120

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最近は少し、流体力学と縁があります。
気になったことが、流体に関するものが多く、
そういう時は、関連することに敏感に反応するようになっているので、
ますます流体に関することが気になるというサイクルになります。

学生の頃、「乱流」という専門科目の授業が面白かったなぁ とか、
揚力ってどう計算するんだっけ とか、
あぁ 循環って線積分だったな とか、
ナビエストークス方程式を解きたいなぁ とか、
問題を解いて100万ドルの賞金欲しいなぁ とか、
いろいろ思い出します。

そうすると、
天気予報を見ても、水を見ても、雲を見ても、煙を見ても、
装置に付いている部品を見ても、頭の中は流体力学です。

気になったことは、答えを見る前に、
断片的な記憶から、どれだけ理論の構築を再現できるか
とやってみるのですが、そう簡単ではありません。

そして、忘れていることやそもそもやり切れていなかったことを
勉強したいと思うのです。


そう言えば、タンクの水を抜く場合、
微分方程式になるんだったなぁ と思い出し、
これ位だったら、再現できるかなと思い、計算してみました。

まず、こういうときは、エネルギー保存則です。
水面の高さにある位置エネルギーが、
タンクの底から流出する水の速度になると思うと、

　　(1/2)mv^2 = mgh

です。速度 v について解くと、

　　v = √(2gh)

です。g は重力加速度、h は水面の高さです。


　　　これは「トリチェリの定理」で、
　　　ベルヌーイの定理から出す方が本来の流体力学のやり方で、
　　　そのベルヌーイの定理は、オイラー方程式から導出するか、
　　　エネルギー保存則から導出する（結局上記の考え方）か、
　　　ということを後から確認しました。

　　　ここで、帰納と演繹について、考えさせられます。
　　　数学ばかり勉強していると、「定義」「公理」「定理」があって、
　　　「証明」となるわけですが、

　　　トリチェリの定理は、自然法則であって、
　　　実験で確かめれば、それは導出とか証明とかは別に不要なのだな
　　　と思うのです。
　　　科学であれば、仮説と検証です。

　　　そう考えると、今から微分方程式を立てて、
　　　解こうとしている問題は、何をしようとしているのかと
　　　考えさせられるのです。

　　　なぜなら、方程式の解そのものが実験で確かめられる法則なので、
　　　微分方程式から解を導いたというよりは、
　　　解がそうだから、微分方程式は正しいという理屈になります。

　　　「数学と物理の方法論」「帰納と演繹」「具体と抽象」について、
　　　世の中には、もっと上手い説明はありますが、
　　　自分の言葉で、今考えていることを、機会があるごとに
　　　アウトプットする練習をしたいのです。

　　　このように、話が脱線していますが、
　　　脱線が本題で、以下の計算は、おまけです。
　　　（以下の計算は、既に多くの本に書かれていることだと思います。）


ここで、体積 V の時間変化を考えると、

　　-dV/dt = sv

になります。v は上記の流出する水の速度で、s は開口面積です。

　　　式を立てたら、次元解析をするようにしています。
　　　L^3 T^(-1) = L^2 LT^(-1)
　　　なので、おかしな等号にはなっていないです。

そして、体積 V は、V = Ah のように、断面積 A と高さ h の積なので、
トリチェリの定理と合わせて、微分方程式を書き直すと、

　　-A dh/dt = s √(2gh)

となり、高さ h に対する 1階微分方程式になっています。
では、これを解きます。

　　dh/√h = -(s √(2g)/A) dt

両辺を積分します。
このとき、不定積分をして、積分定数を初期条件から求めるか、
最初から定積分するかという選択肢があります。

同じ答えになるので、どっちでもいいと言えばそうなのですが、
それぞれの方法が、どんな概念に対応しているのか
などと考えるのが好きです。

不定積分すると、C を任意定数として、一般解が

　　h = (1/4){C - (s √(2g)/A)t}^2

となり、初期条件の t=0, h=H から、C=2√H なので、

　　h = (1/4){2√H - (s √(2g)/A)t}^2

のように解くことができました。


定積分の場合は、h についての積分を H ～ h で実行し、
t についての積分を 0 ～ t で実行することで、

　　左辺 = ∫dh/√h = [2√h] = 2√h - 2√H
　　右辺 = -(s √(2g)/A)∫dt = -(s √(2g)/A) [t] = -(s √(2g)/A)t

となるので、同じく、

　　h = (1/4){2√H - (s √(2g)/A)t}^2

のように解けます。

ついでに、タンクが空になる時間 T は、h=0 を計算して、

　　T = (A/s) √(2H/g)

となります。


　　　結局、微分方程式を立てて解くことは、
　　　具体的な現象を抽象化して、
　　　もう一度、抽象から具体に落とし込むことになります。

　　　面倒な作業のように見えますが、
　　　個々の現象に対する法則を集めるだけよりは、
　　　共通の法則を本質的なものとして捉えておく方が
　　　応用が利くし、物事の理解が深まるということにつながります。


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高野智暢