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二乗の和の公式

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2020年11月11日号　VOL.115

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最近、二乗の和の公式を導く機会があったので、それを書きます。

確か、二乗の和の公式の導出方法は何通りもあって、
なかなか奥の深い世界が広がっています。

たぶん、昔に何度も解いた問題ですが、すっかり忘れています。
これは、ノーヒントで解いた時の爽快感を味わうチャンスです。
忘れるということは良いことです。

まずは、計算したい式を書きます。

　　S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = Σk^2

この S を計算します。
Σは、kについて、1～n まで走ることとします。

各項を分解してみると、奇数の和で書けることが分かります。

　　1^2 =  1 = 1
　　2^2 =  4 = 1 + 3
　　3^2 =  9 = 1 + 3 + 5
　　4^2 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7
　　5^2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
　　...

　　n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)

これを縦に足すと、同じ数が何回出現するかを見て、
掛け算でまとめることができます。

　　S = 1×n + 3(n-1) + 5(n-2) + ... + (2n-3)×2 + (2n-1)×1

この式をΣでまとめると、

　　S = Σ(2k-1)(n-k+1)

になるので、展開して、

　　S = Σ(2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1)
　　  = 2nΣk - 2Σk^2 + 2Σk - nΣ1 + Σk - Σ1

となります。
ここで、

　　Σ1 = n
　　Σk = n(n+1)/2

は簡単に求まるので、代入します。
また、2Σk^2 は、2S です。すると、

　　S = 2n{n(n+1)/2} - 2S + 2{n(n+1)/2} - n^2 + n(n+1)/2 - n
　　  = (n+1)n^2 + n^2 + n - n^2 + (n^2)/2 + n/2 - n - 2S
　　  = n^3 + (3/2)n^2 + n/2 - 2S

従って、

　　3S = n^3 + (3/2)n^2 + n/2

になります。この両辺を 3 で割って、

　　S = (2n^3 + 3n^2 + n)/6

が得られました。因数分解すれば、

　　S = (1/6)n(n+1)(2n+1)

です。（これが求めたかった公式です。）


ところで、最初に平方数が奇数の和で書けることに気が付きました。
絵で描くとこんな感じです：

　　□■□■□
　　■■□■□
　　□□□■□
　　■■■■□
　　□□□□□


忘れると、何回も楽しめます。


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高野智暢