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コンプトン散乱の式の導出

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2020年10月21日号　VOL.114

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今回は、X線CTにも関係がある
コンプトン（Compton）散乱について書きます。

この話題は何度も書こうと思いましたが、
どこから始めて、どこまで書くかの選択肢が多く、
どんなオチにするかも悩ましいので、
なかなか書くことができませんでした。

そこで、あれこれ捻ったことを考えず、
まず式の導出計算を紹介することにしました。


状況設定として、
静止した電子にX線光子を衝突させることを考えます。

電子の静止質量を m とし、
入射X線光子の波長を λ とします。
（光速度は c です。）

衝突後、反跳電子のエネルギーが E となり、
反跳電子の運動量は p になったとします。

散乱X線の波長は λ’になったとします。

入射X線の進行方向を基準線として、
（反時計回りに）散乱X線の散乱角度を θ とし、
（時計回りに）反跳電子の進行方向の角度を φ とします。


コンプトン散乱の式を導くには、
まず運動量保存則とエネルギー保存則を書き下します。

運動量保存則は、

　　x 方向： (h/λ) = (h/λ’) cosθ + p cosφ

　　y 方向： 0 = (h/λ’) sinθ + p sinφ

エネルギー保存則は、（特殊相対性理論を考慮して）

　　(hc/λ) + mc^2 = (hc/λ’) + E

となります。


次に、φを消去したいので、
運動量保存則の2式をそれぞれ二乗します。

　　{(h/λ) - (h/λ’) cosθ}^2 = p^2 cos^2φ

　　(h/λ’)^2 sin^2θ = p^2 sin^2φ

この2式を足して、sin^2φ + cos^2φ = 1 を使うと、

　　(1/λ)^2 + (1/λ’)^2 - 2 cosθ/(λλ’) = (p/h)^2

を得ます。これを（式A）とします。
続いて、エネルギー保存則を二乗して、

　　(1/λ)^2 + (1/λ’)^2 - 2/(λλ’) = (E^2 - 2Emc^2 + m^2c^4)/(hc)^2

を得ます。これを（式A）と比較すると、最初の2項が共通で、
第3項も上手く括れるので、これら2式を引き算すると、

　　2(1 - cosθ)/(λλ’) = (p^2c^2 - E^2 + 2Emc^2 - m^2c^4)/(hc)^2

となります。
ここで、特殊相対性理論におけるエネルギーと運動量と質量の関係式が

　　E^2 - p^2c^2 = m^2c^4

なので、

　　2(1 - cosθ)/(λλ’) = 2(Emc^2 - m^2c^4)/(hc)^2

というところまで計算を進められます。
そして、もう一度、エネルギー保存則を思い出して、変形すると、

　　E - mc^2 = (hc/λ) - (hc/λ’)

なので、さらに計算を進められて、

　　(1 - cosθ)/(λλ’) = (mc^2){(hc/λ) - (hc/λ’)}/(hc)^2

となります。これを整理すると、

　　λ’-λ = {h/(mc)}(1 - cosθ)

が得られます。
これがコンプトン散乱の式です。

この式についてコメントしようとすると、長くなりそうなので、
今回はここまでにします。


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高野智暢