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コーシー・シュワルツの不等式を使った計算

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2019年12月11日号　VOL.101

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
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数学の本を読んでいると
「明らか」とか「簡単に示せる」と書いてあることがありますが、
実際にやってみると、簡単ではないことがあります。


先々月のメルマガで、
3次元空間の2点 x=(x1,x2,x3) と y=(y1,y2,y3) に対して、

　　d(x,y) = √{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }

で決まる d という関数について、
抽象的な距離の条件を満たしていることを確かめられる
と書きました。


最初の3つは簡単に確かめられます。

4つ目の三角不等式も簡単かなと思いきや、
実際にやってみると面倒な計算です。

自分で「確かめられる」と書いたからには、
一応やっておかないと思い、計算を始めると、
予想以上に時間が掛かってしまいました。


示したい三角不等式は、

　　d(x,y) + d(y,z) ≧ d(x,z)

です。
実際に書き下して、計算した結果を載せます。

　　d(x,y) = √{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }
　　d(y,z) = √{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }
　　d(x,z) = √{ (x1 - z1)^2 + (x2 - z2)^2 + (x3 - z3)^2 }


三角不等式の両辺を二乗します。

{d(x,y) + d(y,z)}^2
  = (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 + (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2
    + 2√{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

  = (x1)^2 + (y1)^2 + (x2)^2 + (y2)^2 + (x3)^2 + (y3)^2
    + (y1)^2 + (z1)^2 + (y2)^2 + (z2)^2 + (y3)^2 + (z3)^2
    -2(x1y1) -2(x2y2) -2(x3y3) -2(y1z1) -2(y2z2) -2(y3z3)
    + 2√{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }


{d(x,z)}^2
  = (x1 - z1)^2 + (x2 - z2)^2 + (x3 - z3)^2

  = (x1)^2 + (z1)^2 + (x2)^2 + (z2)^2 + (x3)^2 + (z3)^2 -2(x1z1) -2(x2z2) -2(x3z3)


両辺を比べて、同じ項を消去すると、

左辺 = 2(y1)^2 + 2(y2)^2 + 2(y3)^2
    -2(x1y1) -2(x2y2) -2(x3y3) -2(y1z1) -2(y2z2) -2(y3z3)
    + 2√{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

右辺 = -2(x1z1) -2(x2z2) -2(x3z3)


さらに両辺を 2 で割ると、

左辺 = (y1)^2 + (y2)^2 + (y3)^2 -(x1y1) -(x2y2) -(x3y3) -(y1z1) -(y2z2) -(y3z3)
    + √{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

右辺 = -(x1z1) -(x2z2) -(x3z3)


ここで、左辺 ≧ 右辺 を改めて書くと、

(y1)^2 + (y2)^2 + (y3)^2 -(x1y1) -(x2y2) -(x3y3) -(y1z1) -(y2z2) -(y3z3)
    + √{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

≧ -(x1z1) -(x2z2) -(x3z3)


ルートのある項を左辺に置いて、残りの項を右辺に移項すると、

√{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

≧ -(x1z1) -(x2z2) -(x3z3) - (y1)^2 - (y2)^2 - (y3)^2 +(x1y1) +(x2y2) +(x3y3) +(y1z1) +(y2z2) +(y3z3)


ここで、右辺を次のようにまとめることができます。

-(x1z1) -(x2z2) -(x3z3) - (y1)^2 - (y2)^2 - (y3)^2 +(x1y1) +(x2y2) +(x3y3) +(y1z1) +(y2z2) +(y3z3)

  = (x1 - y1)(y1 - z1) + (x2 - y2)(y2 - z2) + (x3 - y3)(y3 - z3)


つまり、

√{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }√{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

≧ (x1 - y1)(y1 - z1) + (x2 - y2)(y2 - z2) + (x3 - y3)(y3 - z3)


この両辺を二乗すると、

{ (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }

≧ {(x1 - y1)(y1 - z1) + (x2 - y2)(y2 - z2) + (x3 - y3)(y3 - z3)}^2


これは、まさにコーシー・シュワルツの不等式で、
成立することが証明できるので、

d(x,y) + d(y,z) ≧ d(x,z)

が証明できたことになります。


　　変数を置き直したり、対称性を考慮したりして、
　　もう少しスマートに計算することもできそうですが、
　　このように愚直に機械的な計算をしてみるのも良いものです。


今回も無駄に長くなってしまったので、
コーシー・シュワルツの不等式の証明は、またの機会にします。


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高野智暢