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インピーダンス整合と計算の工夫

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2018年12月26日号　VOL.089

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インピーダンス整合の話をしようと思いますが、
本題は、相加平均と相乗平均の話です。

電圧 E ボルトの電源と r オームの固定抵抗と
R オームの可変抵抗が直列で接続された
電気回路を考えます。

計算したいことは、
抵抗 R での消費電力 P が最大となる R の値を求めよ
というものです。

回路を流れる電流を I とすると、
抵抗 R の両端の電圧 V は、

　　V = RI

なので、消費電力 P は、

　　P = VI = RI^2

です。ここで I は、

　　I = E / (R + r)

ですから、

　　P = RE^2 / (R + r)^2

となります。
では、P が最大となる条件は何かという問題には、
どのように答えたら良いでしょうか。

もし、この回路を知っていて、
インピーダンス整合の問題だと分かれば、
実用上は、覚えている答えを使うのでも良いと思います。
実際、答えは覚えやすい形です。

でも、答えを覚えるだけでは応用できないですし、
理解も深まりません。
そこで、この回路を勉強するときは、
式を解きます。

式を解くには、方針を立てなくてはなりません。

最大値を求める問題なので、
P を微分することを思い付くかもしれません。

是非まずは、微分して dP/dR を計算してみて下さい。
微分の計算で、分母と分子に変数 R がいるので、
面倒くさいと思います。

でも、単に一回の微分が面倒なだけではありません。
この問題は、極値を求めるのではなく、
最大値を求める問題です。

つまり、dP/dR = 0 で極値が求まったら、
それが最大値であることを確かめなくてはなりません。
これは結構面倒です。

この問題において、dP/dR = 0 が最大値を与えると
覚えていて使うのは、答えを覚えているのと同じ
と言われても文句は言えないかもしれません。


では、方針を変えます。

a＞0, b＞0 という数があって、ab = k（一定）になっているとき、
a+b が最小となる条件を求めます。

なぜこのような問題に置き換えるのかというと、

　　P = E^2 / (R + 2r + r^2/R)

ですから、a = R,  b = r^2/R と置いて考えるのです。
このとき、ab = r^2 で一定です。

P の分母の (R + 2r + r^2/R) の中の 2r も定数ですから、
R + r^2/R が最小のときに、P が最大となることが分かります。
つまり、a+b が最小となる条件を求めることになります。


さてここで、相加平均と相乗平均を使います。
a＞0, b＞0 であれば、a+b＞0, √(ab)＞0 です。

(a+b)^2 - (2√(ab))^2 を計算すると、
非負であることが分かります。
実際やってみると、

　　(a+b)^2 - (2√(ab))^2 = a^2 -2ab + b^2 = (a-b)^2 ≧0

です。つまり、a+b＞0, √(ab)＞0 なので、移項して平方根を取って、

　　a+b ≧ 2√(ab)

が示されたことになります。
a+b は常に 2√(ab) = 2√k（一定）よりも大きいか等しいので、
a+b が最小となるのは、等号成立条件である (a-b)^2 = 0 のとき、
すなわち、a = b のときです。

ここで、一つの定理が証明されました。

a＞0, b＞0 という数があって、ab = k（一定）になっているとき、
a+b が最小となる条件は、a = b のときです。


元の問題に戻ると、R = r^2/R のとき、つまり、

　　R = r

が P を最大とする条件になります。


いつもメルマガを書いているときは、
何か（ひねくれた）オチを考えています。

さて、この問題を効率よく解く工夫は何でしょうか？

　・インピーダンス整合の問題の答えを覚えること
　・微分の計算を早く正確に解く練習をすること
　・a＞0, b＞0, ab=k（一定）⇒ a=b で a+b が最小という定理を覚えること
　・相加平均と相乗平均を使う証明を覚えること

たぶん、全部やってみて比べると良いと思います。

練習問題として、この問題を勉強する場合は、
そんなに時間を掛けないと思います。（例えば15分とか。）
そして、忘れるのも早いと思います。

でも、この問題に遭遇したときにどうすべきかを考え始めると、
結構時間はあっという間に過ぎてしまいます。（数時間とか。考え過ぎ？）
すると、丸暗記するよりも、何かと記憶に残ります。

この計算のやり方や工夫ではなく、
実際のインピーダンス整合を理解しようとすると、
もっと時間が必要だと思います。
（例えば、この問題とスピーカーの回路を結び付けて考えるとか。）

結局、時間を掛けて、一つのテーマについて考え続けると、
定着して忘れなくなります。


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高野智暢