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積分の計算をやってみよう

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2013年2月10日号　VOL.021

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X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
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1ヶ月が経つのは早いもので、1月10日号のメールマガジンを書き終えたと思ったら、
もう2月10日号を書く日がやって来ました。

今回はちょっと長めの積分計算をやってみましょう。

計算する式は、前回の1月10日号で計算過程を省略した
正規分布に従うεにおけるε^2 の平均値 <ε^2> です。


正規分布関数 f(ε)は、

　　f(ε) = 1/(√(2π)σ) exp( -ε^2 /(2σ^2) )

です。
もうこの時点で式が長いので、前回は書くのを断念しましたが、今回は続けます。

ε^2 の平均値あるいは期待値 <ε^2> は、
誤差の値が ε ～ (ε + dε) の微小区間にある確率が f(ε)dε となりますので、
(ε^2) × f(ε)dε を全区間で足し上げれば計算できます。

仕方がないので、積分します。しかも -∞ ～ ∞ の区間です。
∫の記号に抵抗感があっても、単なる足し算がいっぱいという軽い感じで考えましょう。
では、始めます。

<ε^2> = ∫(ε^2)f(ε)dε
　　　 = ∫(ε^2)/(√(2π)σ) exp( -ε^2 /(2σ^2) )dε

（ここで、t = ε/σ と置き、変数変換します）

　　　 = ∫(t^2) exp( -t^2 /2 )dt
　　　 = (σ^2)/(√(2π))∫t(t exp( -t^2 /2 ))dt
　　　 = (σ^2)/(√(2π))∫t( -exp( -t^2 /2 ))’dt

（ここで、部分積分の公式が使えます）

　　　 = (σ^2)/(√(2π))[ -t exp( -t^2 /2 ) ] + (σ^2)/(√(2π))∫exp( -t^2 /2 )dt

ここで、[ -t exp( -t^2 /2 ) ] は、t→±∞ で 0 です。
また、1/(√(2π))∫exp( -t^2 /2 )dt = 1 です。

従って、

　　<ε^2> = σ^2

となりました！


さて、1/(√(2π))∫exp( -t^2 /2 )dt = 1 を計算しましょうか。

実は、この積分値は 1 になるように係数 1/(√(2π)) を決めているのですが、
それを確かめましょう。

(∫exp(-t^2)dt )^2
　　　 = (∫exp(-x^2)dx )(∫exp(-y^2)dy )
　　　 = ∫∫exp( -x^2 - y^2 )dx dy
　　　 = ∫∫exp( -r^2 ) r dr dθ
　　　 = 2π∫r exp( -r^2 )dr
　　　 = π∫exp(s)ds
　　　 = π

従って、

　　∫exp(-t^2)dt = √π

となり、t → (t/√2) の置き換えで、

　　∫exp( -t^2 /2 )dt = √(2π)

なので、1/(√(2π))∫exp( -t^2 /2 )dt = 1 が言えました。

ただし、積分範囲は、
　　t : (-∞, ∞)
　　x : (-∞, ∞)
　　y : (-∞, ∞)
　　r : (0, ∞)
　　θ : (0, 2π)
　　s : (-∞, 0)
です。適宜補って読んで下さい。


物理学科出身の人は、読みにくい計算ですが、これで納得できるかと思います。

数学科出身の人は納得できないと思いますので、
この後、積分範囲が (-∞, ∞) になっていることと、
極座標変換で積分値が等しいとしていることに対して
納得する必要があります。そのため、 (∫exp(-t^2)dt )^2 が
πよりちょっと小さい関数とπよりちょっと大きい関数の間にあって、
極限を取ることで、はさみうちの原理が使えることを言う必要があります。

私は数学科出身ではないので、やめておきます。


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高野智暢


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