概要

ルジャンドル多項式（Legendre polynomial）は、直交多項式系と呼ばれるものの一つです。
精密測定において、便利に使うことができます。
例えば、フォトマスクの形状測定に使われます。また、粗さ測定の高度な解析において使われることもあります。

そして何より、直交系という考え方が、測定技術において不可欠なのです。

こちらがルジャンドル多項式を並べてみたものです。

$$\begin{array}{r}{P}_0(x)=1\\ P_1(x)=x\\ P_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(3x^2-1)}\\ P_3(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(5x^3-3x)}\\ P_4(x)={\displaystyle \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)}\\ P_5(x)={\displaystyle \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)}\\ P_6(x)={\displaystyle \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)}\end{array}$$

（ ... と続きます。）

そして、お約束の直交関係を書いてみましょう。

$$\begin{array}{r}{\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx={\displaystyle \frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}}\end{array}$$

（ このページの本当の目的は、実は MathJax の使い勝手を試すことだったりします... ）
ルジャンドル多項式についてご紹介しているメルマガ記事として D-0008. Legendre多項式とフォトマスク があります。

作り方

それでは、実際にそれぞれの多項式を直交化法によって作ってみましょう。

計算することは、最初に用意した基底

$$\begin{array}{r}\{x^0,x^1,x^2,x^3,...\}\end{array}$$

から、直交基底

$$\begin{array}{r}\{P_0(x),P_1(x),P_2(x),P_3(x),...\}\end{array}$$

を作ることです。ここで、内積を

$$\begin{array}{r}(f(x),g(x))={\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx\end{array}$$

と定め、Gram-Schmidt の直交化法：

$$\begin{array}{r}{f}_n(x)=x^n-\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{(x^n,f_k(x))}{(f_k(x),f_k(x))}{f}_k(x)}\end{array}$$

に当てはめると、

$$\begin{array}{r}{f}_n(x)=x^n-\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_k(x)x^{n}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_k(x){\}}^{2}dx}{f}_k(x)}\end{array}$$

を計算することになります。 これで、直交系はできますが、x=1 のときの値を揃えた関数系にしたいので、

$$\begin{array}{r}{P}_n(x)={\displaystyle \frac{f_n(x)}{f_n(1)}}\end{array}$$

とします。

n=0 のとき：

$$\begin{array}{r}{f}_0(x)=x^0=1\\ P_0(x)={\displaystyle \frac{f_0(x)}{f_0(1)}=1}\end{array}$$

n=1 のとき：

$$\begin{array}{r}{f}_1(x)=x^1-\sum _{k=0}^0{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_k(x)x^{1}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_k(x){\}}^{2}dx}{f}_k(x)=x-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^{1}xdx}{{\int }_{-1}^{1}dx}=x-0=x}}\\ P_1(x)={\displaystyle \frac{f_1(x)}{f_1(1)}={\displaystyle \frac{x}{1}=x}}\end{array}$$

n=2 のとき：

$$\begin{array}{rl}{f}_2(x)& =x^2-\sum _{k=0}^1{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_k(x)x^{2}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_k(x){\}}^{2}dx}{f}_k(x)}\\ & =x^2-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_0(x)x^{2}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_0(x){\}}^{2}dx}{f}_0(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_1(x)x^{2}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_1(x){\}}^{2}dx}{f}_1(x)}}\end{array}$$

となるので、積分を次のように計算します。

$$\begin{array}{r}{\int }_{-1}^1{f}_0(x)x^{2}dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=[{\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3{]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{2}{3},}}\\ {\int }_{-1}^1\{f_0(x){\}}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}dx=[x{]}_{-1}^1=2,\\ {\int }_{-1}^1{f}_1(x)x^{2}dx={\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=[{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4{]}_{-1}^1=0,}\\ {\int }_{-1}^1\{f_1(x){\}}^{2}dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=[{\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3{]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{2}{3}.}}\end{array}$$

これらの計算結果を代入して、

$$\begin{array}{r}{f}_2(x)=x^2-{\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{2}\times 1-{\displaystyle \frac{0}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times x=x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}\\ P_2(x)={\displaystyle \frac{f_2(x)}{f_2(1)}={\displaystyle \frac{f_2(x)}{1-\frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{2}{f}_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}(3x^2-1)}}}}\end{array}$$

n=3 のとき：

$$\begin{array}{r}{f}_3(x)=x^3-\sum _{k=0}^2{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_k(x)x^{3}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_k(x){\}}^{2}dx}{f}_k(x)}\end{array}$$

を計算します。奇関数の積分は0になるので、0になることが分かった項は消していきます。計算を続けると、

$$\begin{array}{rl}{f}_3(x)& =x^3-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_0(x)x^{3}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_0(x){\}}^{2}dx}{f}_0(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_1(x)x^{3}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_1(x){\}}^{2}dx}{f}_1(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_2(x)x^{3}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_2(x){\}}^{2}dx}{f}_2(x)}}}\\ & =x^3-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{3}dx}{{\int }_{-1}^{1}dx}-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{4}dx}{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}x-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3})x^{3}dx}{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3}{)}^{2}dx}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}}\\ & =x^3-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{4}dx}{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}x=x^3-{\displaystyle \frac{[\frac{1}{5}{x}^5{]}_{-1}^1}{\frac{2}{3}}x}}\\ & =x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}\times 2\times {\displaystyle \frac{1}{5}x=x^3-{\displaystyle \frac{3}{5}x}}}\\ P_3(x)& ={\displaystyle \frac{f_3(x)}{f_3(1)}={\displaystyle \frac{x^3-\frac{3}{5}x}{1-\frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{1}{2}(5x^3-3x)}}}\end{array}$$

n=4 のとき：

$$\begin{array}{rl}{f}_4(x)& =x^4-\sum _{k=0}^3{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_k(x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_k(x){\}}^{2}dx}{f}_k(x)}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_0(x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_0(x){\}}^{2}dx}{f}_0(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_1(x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_1(x){\}}^{2}dx}{f}_1(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_2(x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_2(x){\}}^{2}dx}{f}_2(x)-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{f}_3(x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1\{f_3(x){\}}^{2}dx}{f}_3(x)}}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{4}dx}{{\int }_{-1}^{1}dx}-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{5}dx}{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}x-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3})x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3}{)}^{2}dx}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1(x^3-\frac{3}{5}x)x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1(x^3-\frac{3}{5}x{)}^{2}dx}(x^3-{\displaystyle \frac{3}{5}x)}}}}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1{x}^{4}dx}{{\int }_{-1}^{1}dx}-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3})x^{4}dx}{{\int }_{-1}^1(x^2-\frac{1}{3}{)}^{2}dx}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{1}{2}\times [{\displaystyle \frac{1}{5}{x}^5{]}_{-1}^1-{\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^1(x^6-\frac{1}{3}{x}^4)dx}{{\int }_{-1}^1(x^4-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{9})dx}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{1}{5}-{\displaystyle \frac{[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{1}{15}{x}^5{]}_{-1}^1}{[\frac{1}{5}{x}^5-\frac{2}{9}{x}^3+\frac{1}{9}x{]}_{-1}^1}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{1}{5}-{\displaystyle \frac{\frac{2}{7}-\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{1}{5}-{\displaystyle \frac{6}{7}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3})}}}\\ & =x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35}}}\\ P_4(x)& ={\displaystyle \frac{f_4(x)}{f_4(1)}={\displaystyle \frac{x^4-\frac{6}{7}{x}^2+\frac{3}{35}}{1-\frac{6}{7}+\frac{3}{35}}={\displaystyle \frac{35}{8}(x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35})}}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)}\end{array}$$

ルジャンドル多項式の導出は、メルマガ記事 A-0042. ルジャンドル多項式の作り方 の続きです。