連載「X線CTで高精度寸法測定!?」

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ Zernike多項式からLegendre多項式への変換の一例 発行:エスオーエル株式会社 https://www.sol-j.co.jp/ 連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 2021年11月10日号 VOL.129 平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 無料にてメールマガジンを配信いたしております。 ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ Zernike 多項式は、円形領域内の形状を成分に分解する場合に使います。 Legendre 多項式は、矩形領域内の形状を成分に分解する場合に使います。 これらの多項式に共通する重要な性質が「完全系」及び「直交系」であることです。 その性質があるため、成分に分解できます。 最近、Zernike の 3-point 3rd order Coma Y を Legendre 多項式で表したいというイベントが発生しました。 計算してみると、案外きれいに変換できました。 結果を先に書いておくと、「Zernike」「Legendre」「XY-Poly」 として表した以下の3つの式が同じです。 【結果】   Zernike : Z[11](R,θ) = R^3 sin(3θ)   Legendre : L(X,Y) = 0.4 Y + 2 P[2](X)*Y - 0.4 P[3](Y)   XY-Poly : F(X,Y) = 3 X^2 Y - Y^3 【計算】 まず、極座標 (R,θ) から 直交座標 (X,Y) への変換を考えると、   R sin(θ) = Y   R cos(θ) = X です。(以下の計算では、sin の式を使います。)また、   R^2 = X^2 + Y^2 も言えます。 続いて、Zernike の Z[11] は、sin(3θ) を含んでいますので、 3倍角の公式   sin(3θ) = 3 sin(θ) - 4 sin^3(θ) を使います。 従って、Zernike の Z[11] は、   Z[11] = R^3 sin(3θ)      = 3 R^3 sin(θ) - 4 R^3 sin^3(θ)      = 3 R^2 R sin(θ) - 4 { R sin(θ) }^3      = 3 (X^2 + Y^2) Y - 4 Y^3      = 3 X^2 Y + 3 Y^3 - 4 Y^3      = 3 X^2 Y - Y^3 という XY の多項式で書けることが分かります。 一方、Legendre 多項式においては、  P[2](X) = (3 X^2 - 1)/2  P[3](Y) = (5 Y^3 - 3Y)/2 です。 従って、関数 L として、Y, P[2](X)*Y, P[3](Y) の一次結合を作り、 式を展開すると、   L = 0.4 Y + 2 P[2](X)*Y - 0.4 P[3](Y)    = 0.4 Y + 2Y (3 X^2 - 1)/2 - 0.4 (5 Y^3 - 3Y)/2    = 0.4 Y + 3 X^2 Y - Y - Y^3 + 0.6 Y    = 3 X^2 Y - Y^3 のように計算できます。 これにより、冒頭で挙げた 3つの式が同じということが示せます。   -- 高野智暢 ●┳┳┳●━━━━ 連 絡 先 ━━━━━━━━━━━━━ ┣╋╋○ エスオーエル株式会社 ( SOL ) ┣╋○ 〒335-0012 埼玉県戸田市中町1-34-1 ┣○ Tel: 048-441-1133 Fax: 048-445-1678 ● Email: sales@sol-j.co.jp Web: https://www.sol-j.co.jp    --デモ測定を承ります-- 詳細は上記Webサイトまで

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