連載「X線CTで高精度寸法測定!?」

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 微分方程式の例:タンクの排水 発行:エスオーエル株式会社 https://www.sol-j.co.jp/ 連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 2021年3月10日号 VOL.120 平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 無料にてメールマガジンを配信いたしております。 ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 最近は少し、流体力学と縁があります。 気になったことが、流体に関するものが多く、 そういう時は、関連することに敏感に反応するようになっているので、 ますます流体に関することが気になるというサイクルになります。 学生の頃、「乱流」という専門科目の授業が面白かったなぁ とか、 揚力ってどう計算するんだっけ とか、 あぁ 循環って線積分だったな とか、 ナビエストークス方程式を解きたいなぁ とか、 問題を解いて100万ドルの賞金欲しいなぁ とか、 いろいろ思い出します。 そうすると、 天気予報を見ても、水を見ても、雲を見ても、煙を見ても、 装置に付いている部品を見ても、頭の中は流体力学です。 気になったことは、答えを見る前に、 断片的な記憶から、どれだけ理論の構築を再現できるか とやってみるのですが、そう簡単ではありません。 そして、忘れていることやそもそもやり切れていなかったことを 勉強したいと思うのです。 そう言えば、タンクの水を抜く場合、 微分方程式になるんだったなぁ と思い出し、 これ位だったら、再現できるかなと思い、計算してみました。 まず、こういうときは、エネルギー保存則です。 水面の高さにある位置エネルギーが、 タンクの底から流出する水の速度になると思うと、   (1/2)mv^2 = mgh です。速度 v について解くと、   v = √(2gh) です。g は重力加速度、h は水面の高さです。    これは「トリチェリの定理」で、    ベルヌーイの定理から出す方が本来の流体力学のやり方で、    そのベルヌーイの定理は、オイラー方程式から導出するか、    エネルギー保存則から導出する(結局上記の考え方)か、    ということを後から確認しました。    ここで、帰納と演繹について、考えさせられます。    数学ばかり勉強していると、「定義」「公理」「定理」があって、    「証明」となるわけですが、    トリチェリの定理は、自然法則であって、    実験で確かめれば、それは導出とか証明とかは別に不要なのだな    と思うのです。    科学であれば、仮説と検証です。    そう考えると、今から微分方程式を立てて、    解こうとしている問題は、何をしようとしているのかと    考えさせられるのです。    なぜなら、方程式の解そのものが実験で確かめられる法則なので、    微分方程式から解を導いたというよりは、    解がそうだから、微分方程式は正しいという理屈になります。    「数学と物理の方法論」「帰納と演繹」「具体と抽象」について、    世の中には、もっと上手い説明はありますが、    自分の言葉で、今考えていることを、機会があるごとに    アウトプットする練習をしたいのです。    このように、話が脱線していますが、    脱線が本題で、以下の計算は、おまけです。    (以下の計算は、既に多くの本に書かれていることだと思います。) ここで、体積 V の時間変化を考えると、   -dV/dt = sv になります。v は上記の流出する水の速度で、s は開口面積です。    式を立てたら、次元解析をするようにしています。    L^3 T^(-1) = L^2 LT^(-1)    なので、おかしな等号にはなっていないです。 そして、体積 V は、V = Ah のように、断面積 A と高さ h の積なので、 トリチェリの定理と合わせて、微分方程式を書き直すと、   -A dh/dt = s √(2gh) となり、高さ h に対する 1階微分方程式になっています。 では、これを解きます。   dh/√h = -(s √(2g)/A) dt 両辺を積分します。 このとき、不定積分をして、積分定数を初期条件から求めるか、 最初から定積分するかという選択肢があります。 同じ答えになるので、どっちでもいいと言えばそうなのですが、 それぞれの方法が、どんな概念に対応しているのか などと考えるのが好きです。 不定積分すると、C を任意定数として、一般解が   h = (1/4){C - (s √(2g)/A)t}^2 となり、初期条件の t=0, h=H から、C=2√H なので、   h = (1/4){2√H - (s √(2g)/A)t}^2 のように解くことができました。 定積分の場合は、h についての積分を H ~ h で実行し、 t についての積分を 0 ~ t で実行することで、   左辺 = ∫dh/√h = [2√h] = 2√h - 2√H   右辺 = -(s √(2g)/A)∫dt = -(s √(2g)/A) [t] = -(s √(2g)/A)t となるので、同じく、   h = (1/4){2√H - (s √(2g)/A)t}^2 のように解けます。 ついでに、タンクが空になる時間 T は、h=0 を計算して、   T = (A/s) √(2H/g) となります。    結局、微分方程式を立てて解くことは、    具体的な現象を抽象化して、    もう一度、抽象から具体に落とし込むことになります。    面倒な作業のように見えますが、    個々の現象に対する法則を集めるだけよりは、    共通の法則を本質的なものとして捉えておく方が    応用が利くし、物事の理解が深まるということにつながります。 -- 高野智暢 ●┳┳┳●━━━━ 連 絡 先 ━━━━━━━━━━━━━ ┣╋╋○ エスオーエル株式会社 ( SOL ) ┣╋○ 〒335-0012 埼玉県戸田市中町1-34-1 ┣○ Tel: 048-441-1133 Fax: 048-445-1678 ● Email: sales@sol-j.co.jp Web: https://www.sol-j.co.jp    --デモ測定を承ります-- 詳細は上記Webサイトまで

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