連載「X線CTで高精度寸法測定!?」

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ コーシー・シュワルツの不等式の証明 発行:エスオーエル株式会社 http://www.sol-j.co.jp/ 連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 2020年1月8日号 VOL.102 平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 無料にてメールマガジンを配信いたしております。 ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 前回は、コーシー・シュワルツの不等式の証明を積み残しましたので、 やってみます。 前回の式は、  { (x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + (x3 - y3)^2 }{ (y1 - z1)^2 + (y2 - z2)^2 + (y3 - z3)^2 }  ≧ {(x1 - y1)(y1 - z1) + (x2 - y2)(y2 - z2) + (x3 - y3)(y3 - z3)}^2 でしたが、 コーシー・シュワルツの不等式としては、  ( a^2 + b^2 + c^2 )( s^2 + t^2 + u^2 ) ≧ ( as + bt + cu )^2 を証明すれば良いことになります。 1) ストレートに計算して証明する 証明方法はいろいろありますが、まずは凝ったことはせずに、 与えられた不等式が成り立つことを素直に確かめます。  ( a^2 + b^2 + c^2 )( s^2 + t^2 + u^2 ) - ( as + bt + cu )^2 ≧ 0  a^2s^2 + a^2t^2 + a^2u^2 + b^2s^2 + b^2t^2 + b^2u^2 + c^2s^2 + c^2t^2 + c^2u^2  - a^2s^2 - b^2t^2 - c^2u^2 - 2asbt - 2btcu - 2cuas ≧ 0  a^2t^2 + a^2u^2 + b^2s^2 + b^2u^2 + c^2s^2 + c^2t^2 - 2asbt - 2btcu - 2cuas ≧ 0  ( at - bs )^2 + ( bu - ct )^2 + ( cs - au )^2 ≧ 0  等号成立は、at = bs かつ bu = ct かつ cs = au のとき ストレートと言えども、最後は上手く因数分解して、二乗の項の和にまとめる必要があります。 そのため、因数分解を見抜く必要があり、コツが必要です。 対称性というか、規則性に気づくと上手くいきます。 このような問題を見たときは、まずは簡単な  ( a^2 + b^2 )( s^2 + t^2 ) ≧ ( as + bt )^2 を証明してみて、感触を掴んでおくのも良い方法です。 2) ベクトルの内積を使って証明する コーシー・シュワルツの不等式が使われる事例をたくさん知っていると、 ベクトルの内積と関係が深いことが分かります。 そのため、内積を使った証明が本質を突いていますし、スマートです。 ベクトル X = (a, b, c) , Y = (s, t, u) とします。 その内積は、  X・Y = as + bt + cu = √(a^2 + b^2 + c^2) √(s^2 + t^2 + u^2) cosθ であり、 -1 ≦ cosθ ≦ 1 なので、  (as + bt + cu)^2 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)(s^2 + t^2 + u^2) です。 等号成立は、cosθ = ±1 なので、ベクトルXとYが平行なときになります。 3) 判別式を使って証明する 任意の実数 r に対して、  (ar - s)^2 + (br - t)^2 + (cr - u)^2 ≧ 0 という式を考えます。展開して r の項でまとめると、  (a^2 + b^2 + c^2)r^2 - 2(as + bt +cu)r + (s^2 + t^2 + u^2) ≧ 0 になります。 a^2 + b^2 + c^2 = 0 であれば、a = b = c = 0 なので、不等式成立です。 a^2 + b^2 + c^2 ≠ 0 であれば、r についての2次式が常に 0 以上なので、 判別式 D が 0 以下 ということになります。 (下に凸な2次関数が常に 0 以上の状況を考えています。)  D/4 = (as + bt +cu)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)(s^2 + t^2 + u^2) ≦ 0 従って、  (as + bt + cu)^2 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)(s^2 + t^2 + u^2) が示せました。 等号成立は、  (ar - s)^2 + (br - t)^2 + (cr - u)^2 = 0 のときなので、  (ar - s) = (br - t) = (cr - u) = 0 と書けます。 上記3つの方法で、等号成立条件が異なるように見えますが、 実は同じことを言っていますので、興味がある方は確認してみて下さい。 コーシー・シュワルツの不等式は、次元を増やしても成り立ちますので、 様々な分野でとても有用なツールになります。 -- 高野智暢 ●┳┳┳●━━━━ 連 絡 先 ━━━━━━━━━━━━━ ┣╋╋○ エスオーエル株式会社 ( SOL ) ┣╋○ 〒335-0012 埼玉県戸田市中町1-34-1 ┣○ Tel: 048-441-1133 Fax: 048-445-1678 ● Email: sales@sol-j.co.jp Web: http://www.sol-j.co.jp    --デモ測定を承ります-- 詳細は上記Webサイトまで

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