ゼルニケ多項式とは?

Zernike多項式は、円形の領域で完全系を張る直交多項式です。 そのため、レンズ系と相性が良く、光学の分野では非常によく使われます。

リファレンスフラットと呼ばれる基準平面を製造するときにもキーとなる数式であり、ポイントはその回転対称性にあります。

ここではそのプロットと式を紹介します。

プロット

ゼルニケ02 ゼルニケ03

【 1】 1
【 2】 R cosθ
【 3】 R sinθ
【 4】 2R^2 - 1
【 5】 R^2 cos(2θ)
【 6】 R^2 sin(2θ)
【 7】 (3R^2 - 2)R cosθ
【 8】 (3R^2 - 2)R sinθ
【 9】 6R^4 - 6R^2 + 1
【10】 R^3 cos(3θ)
【11】 R^3 sin(3θ)
【12】 (4R^2 - 3)R^2 cos(2θ)
【13】 (4R^2 - 3)R^2 sin(2θ)
【14】 (10R^4 - 12R^2 + 3)R cosθ
【15】 (10R^4 - 12R^2 + 3)R sinθ
【16】 20R^6 - 30R^4 + 12R^2 - 1
【17】 R^4 cos(4θ)
【18】 R^4 sin(4θ)
【19】 (5R^2 - 4)R^3 cos(3θ)
【20】 (5R^2 - 4)R^3 sin(3θ)
【21】 (15R^4 - 20R^2 + 6)R^2 cos(2θ)
【22】 (15R^4 - 20R^2 + 6)R^2 sin(2θ)
【23】 (35R^6 - 60R^4 + 30R^2 - 4)R cosθ
【24】 (35R^6 - 60R^4 + 30R^2 - 4)R sinθ
【25】 70R^8 - 140R^6 + 90R^4 - 20R^2 + 1
【26】 R^5 cos(5θ)
【27】 R^5 sin(5θ)
【28】 (6R^2 - 5)R^4 cos(4θ)
【29】 (6R^2 - 5)R^4 sin(4θ)
【30】 (21R^4 - 30R^2 + 10)R^3 cos(3θ)
【31】 (21R^4 - 30R^2 + 10)R^3 sin(3θ)
【32】 (56R^6 - 105R^4 + 60R^2 - 10)R^2 cos(2θ)
【33】 (56R^6 - 105R^4 + 60R^2 - 10)R^2 sin(2θ)
【34】 (126R^8 - 280R^6 + 210R^4 - 60R^2 + 5)R cosθ
【35】 (126R^8 - 280R^6 + 210R^4 - 60R^2 + 5)R sinθ
【36】 252R^10 - 630R^8 + 560R^6 - 210R^4 + 30R^2 - 1

余談

ゼルニケ多項式とは、直接関係はありませんが、メールマガジンで話に触れた多面体のペーパーワークです。小学生の頃に流行って、よく作りましたが、最近ドイツで作って見せたら大好評でした。

ゼルニケ01

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