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【 記 事 】

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スネルの法則の導出-その2- 
 
発行:エスオーエル株式会社 
http://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「知って得する干渉計測定技術!」 
2017年9月27日号 VOL.131 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
干渉計による精密測定やアプリケーション例などをテーマに、 
無料にてメールマガジンとして配信いたします。 
 
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皆様こんにちは。営業技術グループの桑野です。 
 
 
前回、光学の話をメインにすると公言し、まずは光学の入り口と言える 
スネルの法則の導出から始めました。 
なんと、今回もまた、スネルの法則の導出です。 
どうか、私の頭の整理のためにも、お付き合いをお願いします。 
 
 
では早速はじめたいと思います。 
前回は波面と各光線から導きましたが、今回はフェルマーの原理に 
基づいて導出します。 
今回も絵を描いてイメージしていただけると分かりやすいかと思います。 
 
 
前回と同様、空気と水の境界面をイメージしてください。 
空気の層の点Pから入射光が入射角θで境界Qにぶつかり、 
屈折角θ’で屈折し、水中の点Rまで進んでいく光を考えます。 
この時、空気の層の屈折率をn、水中をn’とし、 
また、空気の層の光速度をv、水中をv’とします。 
 
 
この時のPからRまでの所要時間は、 
 
t = PQ/v + QR/v’ 
 
となります。 
ここで、点Pから水面までの距離をa、点Pから点Rまでの水平方向の 
距離をc、点Rから水面までの距離をb、また、点Pから水面に下ろし、 
水面と交わる箇所から屈折点Qまでの距離をxとします。 
すると、三平方の定理から、 
 
t = √(a^2 + x^2)/v + √(b^2 + (c - x)^2)/v’ 
 
となります。 
フェルマーの原理から、光のとる経路はt(x)が最小になる経路であり、 
その時、上式は極値をとります。従って、 
 
 
dt/dx = x/(v√(a^2 + x^2)) - (c - x)/(v’√(b^2 + (c - x)^2)) = 0 
 
 
また、 
 
 
x/(√(a^2 + x^2)) = sinθ 
 
(c - x)/(√(b^2 + (c - x)^2)) = sinθ’ 
 
 
であるため、 
 
 
sinθ/v = sinθ’/v’ 
 
 
となります。ここで、 
 
 
v = c/n 
 
v’= c/n’ 
 
 
であるため、代入すると、 
 
 
n sinθ = n’sinθ’ 
 
 
となり、無事導出できました。 
 
 
いよいよスネルの法則を卒業して、次回は光学の基礎の基礎より、 
少し前進したいと思います。 
 
 
最後までお読みいただきありがとうございました。 
来月も宜しくお願いします。 
 
 
-- 
桑野



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