連載「知って得する干渉計測定技術!」

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ Zernike多項式 発行:エスオーエル株式会社 http://www.sol-j.co.jp/ 連載「知って得する干渉計測定技術!」 2016年1月13日号 VOL.103 平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 干渉計による精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 無料にてメールマガジンを配信いたしております。 ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 今回は、Zernike多項式についてご紹介します。 Zernike とは、物理学者の名前で、 「ゼルニケ」または「ツェルニケ」と読みます。 これまでも直交多項式のご紹介として、 Legendre(ルジャンドル)多項式について、何度も書いてきました。 Legendre多項式は、正方形の領域で完全系を張る直交多項式なので、 フォトマスクの形状と相性が良いということでした。 一方の Zernike多項式は、円形の領域で完全系を張る直交多項式です。 そのため、レンズ系と相性が良く、光学の分野では非常によく使われます。 リファレンスフラットと呼ばれる基準平面を製造するときにもキーとなる 数式であり、ポイントはその回転対称性にあります。 ここでも「対称性」というキーワードが出てきましたが、 これもメルマガ8回分にもわたって話題にしてきた「群」と関係があります。 Zernike多項式もまた、話題に尽きない対象ですが、 今回は、Zernike多項式の一般形から、 いくつかの具体的な項を計算してみることにします。 Zernike多項式の書き方には幾つかの流儀があって、 ここでは、「フリンジ ゼルニケ」と呼ばれる書き方で進めることにします。 座標系は、極座標表示(r,θ)を使います。 まずは、Zernike多項式がどんな形なのか見てみます。 単位円の領域にある形状データ W(r,θ) があるとき、 Zernike多項式 Znm(r,θ) の項で展開することができて、   W(r,θ) = ΣΣ Knm Znm(r,θ) と書けます。 ここで、Knm は、フリンジゼルニケ係数と呼ばれる数です。 最初のΣは、n=0 から k まで和を取り、 次のΣは、m=-n から n まで和を取ります。 Zernike多項式の各項 Znm(r,θ) の一般形は、 m≧0 のとき、   Znm(r,θ) = Rnm(r) cos(mθ) m<0 のとき、   Znm(r,θ) = Rnm(r) sin(-mθ) であり、Rnm(r) を書き下すと、   Rnm(r) = Σ (-1)^j {(n-j)! r^(n-2j)}/{j! (n/2 + m/2 -j)! (n/2 - m/2 -j)!} となります。 (ただし、ここのmは絶対値を取るものとし、n-mが奇数のときは Rnm(r) = 0 とする) ここでのΣは、j=0 から (n-m)/2 まで和を取ります。 それでは、Zernike多項式 Znm(r,θ) の項を順に計算してみます。 第1項【n=0, m=0】のとき、   Znm(r,θ) = 1 です。 cos(mθ) = cos(0) = 1 となるのは、よいでしょう。 Rnm(r) を計算するときに、(-1)の0乗とrの0乗が出てきますが、これらも1です。 (r=0のとき、0の0乗になりますが、0の0乗のお話は別の機会に...) そして、0! = 1 (つまり、0の階乗=1)です! (0の階乗のお話もまた別の機会に... ガンマ関数と関連して面白い話です。) これらをまとめると、Z00(r,θ) = 1 となるのです。 n=0, m=0 は、「ピストン」と呼ばれ、平行移動です。 第2項【n=1, m=1】のとき、   Znm(r,θ) = r cosθ です。 まず、cos(mθ) = cos(1θ) = cosθ です。 そして、R11(r) = (-1)^0 {(1-0)! r^(1-0)}/{0! (1-0)! (0-0)!} = r です。 n=1, m=1 は、「Xのチルト」つまり、傾きのX成分です。 第3項【n=1, m=-1】のとき、   Znm(r,θ) = r sinθ です。 まず、sin(-mθ) = sin(-(-1)θ) = sinθ です。 そして、R11(r) = r です。 n=1, m=-1 は、「Yのチルト」つまり、傾きのY成分です。 第4項【n=2, m=0】のとき、   Znm(r,θ) = 2r^2 - 1 です。 まず、cos(mθ) = cos(0) = 1 です。 そして、Rnm(r) について和の範囲は、j=0 から (n-m)/2 = (2-0)/2 = 1 となり、 R20(r) = (-1)^0 {(2-0)! r^(2-0)}/{0! (2/2 + 0/2 -0)! (2/2 - 0/2 -0)!} + (-1) {(2-1)! r^(2-2)}/{1! (2/2 + 0/2 -1)! (2/2 - 0/2 -1)!} = 2r^2 -1 と計算できます。 n=2, m=0 は、「パワー」と呼ばれ、フォーカスのシフトを表します。 この先も何かの修行か嫌がらせのように、どんどん長くなる地味な計算が永遠に続きます。 第5項【n=2, m=2】のとき、   Znm(r,θ) = r^2 cos(2θ) です。 まず、cos(mθ) = cos(2θ) です。 そして、R22(r) = (-1)^0 {(2-0)! r^(2-0)}/{0! (2/2 + 2/2 -0)! (2/2 - 2/2 -0)!} = r^2 n=2, m=2 は、3次の非点収差の0°と90°方向に対応します。 第6項【n=2, m=-2】のとき、   Znm(r,θ) = r^2 sin(2θ) です。 まず、sin(-mθ) = sin(2θ) です。 そして、R22(r) = r^2 です。 n=2, m=-2 は、3次の非点収差の±45°方向に対応します。 第7項【n=3, m=1】のとき、   Znm(r,θ) = (3r^2 - 2)r cosθ です。 まず、cos(mθ) = cosθ です。 そして、Rnm(r) について和の範囲は、j=0 から (n-m)/2 = (3-1)/2 = 1 となり、 R31(r) = (-1)^0 {(3-0)! r^(3-0)}/{0! (3/2 + 1/2 -0)! (3/2 - 1/2 -0)!} + (-1)^1 {(3-1)! r^(3-2)}/{1! (3/2 + 1/2 -1)! (3/2 - 1/2 -1)!} = (3×2/2)r^3 - 2r = (3r^2 - 2)r と計算できます。 n=3, m=1 は、3次のコマ収差のX成分に対応します。 第8項【n=3, m=-1】のとき、   Znm(r,θ) = (3r^2 - 2)r sinθ です。 まず、sin(mθ) = sinθ です。 そして、R31(r) = (3r^2 - 2)r です。 n=3, m=-1 は、3次のコマ収差のY成分に対応します。 第9項【n=4, m=0】のとき、   Znm(r,θ) = 6r^4 - 6r^2 + 1 です。 まず、cos(mθ) = cos(0) = 1 です。 そして、Rnm(r) について和の範囲は、j=0 から (n-m)/2 = (4-0)/2 = 2 となり、 R40(r) = (-1)^0 {(4-0)! r^(4-0)}/{0! (4/2 + 0/2 -0)! (4/2 - 0/2 -0)!} + (-1)^1 {(4-1)! r^(4-2)}/{1! (4/2 + 0/2 -1)! (4/2 - 0/2 -1)!} + (-1)^2 {(4-2)! r^(4-4)}/{2! (4/2 + 0/2 -2)! (4/2 - 0/2 -2)!} = (4×3×2/(2×2))r^4 - (3×2/(1×1))r^2 + (2/2) = 6r^4 - 6r^2 + 1 と計算できます。 n=4, m=0 は、3次の球面収差に対応します。 いよいよ面倒になってきたので、今日はこの辺にしておきます。 -- 高野智暢 ●┳┳┳●━━━━ 連 絡 先 ━━━━━━━━━━━━━ ┣╋╋○ エスオーエル株式会社 ( SOL ) ┣╋○ 〒335-0012 埼玉県戸田市中町1-34-1 ┣○ Tel: 048-441-1133 Fax: 048-445-1678 ● Email: sales@sol-j.co.jp Web: http://www.sol-j.co.jp    --デモ測定を承ります-- 詳細は上記Webサイトまで

測定機に関する理論や解析技術の情報発信として、定期的にメールマガジンを無料配信しています。メルマガにご登録頂くと、最新情報やWEB未公開の情報をいち早くお手元にお届けすることができます。

メルマガご登録はこちらから