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材料力学(vol.005):保持方法による変形と自重たわみの見積り

発行:エスオーエル株式会社
http://www.sol-j.co.jp/

連載「知って得する干渉計測定技術!」
2010年12月10日号 VOL.031

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「保持方法による変形」シリーズの5回目です。
前回までで、たわみ曲線の微分方程式を導きましました。

023. 保持方法による変形とフックの法則
025. 保持方法による変形と曲げ応力
027. 保持方法による変形とてこの原理
029. 保持方法による変形とたわみ曲線


今回は、実際に条件を設定し、方程式を解いてみます。

前回同様、本来の真っ直ぐな棒が横たわる方向を x軸 に取り、
それに直交した下向きの方向を y軸 に取ります。

棒は、両端が支点で支えられているものとします。
y軸方向には重力がかかっており、棒は自重によってたわんでいます。

棒の全長を L, 単位長さ当たりの重さが w で均一とします。
つまりこの棒の重さは、wL です。

このとき、それぞれの支点の反力を R1, R2 とすると、
釣り合いの式から、

  R1 + R2 = wL,
  LR1 = wLL/2

なので、

  R1 = R2 = wL/2

となります。
そして、一方の支点から x の距離にある断面の曲げモーメント M が計算でき、

  M = R1x - ∫w(x-s)ds
   = wLx/2 - (wx^2)/2
   = wx(L-x)/2

となります。(ただし、積分範囲は [0,x] です。)
これをたわみ曲線の微分方程式

  d^2y/dx^2 = -M/EI

に代入すると、

  d^2y/dx^2 = -wx(L - x)/(2EI)

となるので、両辺をxで積分して、

  dy/dx = -w(Lx^2/2 - x^3/3 + c1)/(2EI)

を得ます。さらにもう一回xで積分して、

  y = -w(Lx^3/6 - x^4/12 +c1x +c2)/(2EI)

を得ます。
ここで、c1 と c2 は積分定数ですが、境界条件として、

  x = 0, L のとき、y = 0

を与えると、

  c1 = -L^3/12,
  c2 = 0

と定まります。従って、

  dy/dx = w(4x^3 - 6Lx^2 + L^3)/(24EI),
  y = wx(x^3 - 2Lx^2 +L^3)/(24EI)

となります。
そして、たわみが最大になる位置は、極値となる dy/dx=0 から x を求めます。

  dy/dx = w(4x^3 - 6Lx^2 + L^3)/(24EI)
     = w(2x^2 - 2xL -L^2)(2x - L)/(24EI)

ですので、dy/dx=0 となるのは、

  x = L/2

であることが分かります。
そのときの y がたわみの最大値となり、

  y_max = 5wL^4 / (384EI)

が求まります。
後は、棒の重さ(wL)、長さ(L)、ヤング率(E)、断面二次モーメント(I)を代入すれば、
自重によるたわみを見積もることができます。

--
高野智暢


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