連載「知って得する干渉計測定技術!」

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 材料力学(vol.005):保持方法による変形と自重たわみの見積り 発行:エスオーエル株式会社 http://www.sol-j.co.jp/ 連載「知って得する干渉計測定技術!」 2010年12月10日号 VOL.031 平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 干渉計による精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 無料にてメールマガジンを配信いたしております。 ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 「保持方法による変形」シリーズの5回目です。 前回までで、たわみ曲線の微分方程式を導きましました。 023. 保持方法による変形とフックの法則 025. 保持方法による変形と曲げ応力 027. 保持方法による変形とてこの原理 029. 保持方法による変形とたわみ曲線 今回は、実際に条件を設定し、方程式を解いてみます。 前回同様、本来の真っ直ぐな棒が横たわる方向を x軸 に取り、 それに直交した下向きの方向を y軸 に取ります。 棒は、両端が支点で支えられているものとします。 y軸方向には重力がかかっており、棒は自重によってたわんでいます。 棒の全長を L, 単位長さ当たりの重さが w で均一とします。 つまりこの棒の重さは、wL です。 このとき、それぞれの支点の反力を R1, R2 とすると、 釣り合いの式から、   R1 + R2 = wL,   LR1 = wLL/2 なので、   R1 = R2 = wL/2 となります。 そして、一方の支点から x の距離にある断面の曲げモーメント M が計算でき、   M = R1x - ∫w(x-s)ds    = wLx/2 - (wx^2)/2    = wx(L-x)/2 となります。(ただし、積分範囲は [0,x] です。) これをたわみ曲線の微分方程式   d^2y/dx^2 = -M/EI に代入すると、   d^2y/dx^2 = -wx(L - x)/(2EI) となるので、両辺をxで積分して、   dy/dx = -w(Lx^2/2 - x^3/3 + c1)/(2EI) を得ます。さらにもう一回xで積分して、   y = -w(Lx^3/6 - x^4/12 +c1x +c2)/(2EI) を得ます。 ここで、c1 と c2 は積分定数ですが、境界条件として、   x = 0, L のとき、y = 0 を与えると、   c1 = -L^3/12,   c2 = 0 と定まります。従って、   dy/dx = w(4x^3 - 6Lx^2 + L^3)/(24EI),   y = wx(x^3 - 2Lx^2 +L^3)/(24EI) となります。 そして、たわみが最大になる位置は、極値となる dy/dx=0 から x を求めます。   dy/dx = w(4x^3 - 6Lx^2 + L^3)/(24EI)      = w(2x^2 - 2xL -L^2)(2x - L)/(24EI) ですので、dy/dx=0 となるのは、   x = L/2 であることが分かります。 そのときの y がたわみの最大値となり、   y_max = 5wL^4 / (384EI) が求まります。 後は、棒の重さ(wL)、長さ(L)、ヤング率(E)、断面二次モーメント(I)を代入すれば、 自重によるたわみを見積もることができます。 -- 高野智暢 ●┳┳┳●━━━━ 連 絡 先 ━━━━━━━━━━━━━ ┣╋╋○ エスオーエル株式会社 ( SOL ) ┣╋○ 〒335-0012 埼玉県戸田市中町1-34-1 ┣○ Tel: 048-441-1133 Fax: 048-445-1678 ● Email: sales@sol-j.co.jp Web: http://www.sol-j.co.jp    --デモ測定を承ります-- 詳細は上記Webサイトまで

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