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【 記 事 】

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シンク関数を積分してみましょう 
 
発行:エスオーエル株式会社 
http://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 
2017年9月13日号 VOL.074 
 
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シンク関数は、矩形関数のフーリエ変換なので、 
電気や光学をはじめ、様々な工学や物理学の分野で登場します。 
 
純粋に数学の対象としてもシンク関数は興味深いものです。 
 
今回は、シンク関数を積分してみます。 
 
 
まず、積分されるシンク関数は、 
 
  (sin x)/x 
 
です。 
これを実数の範囲で、0〜∞ まで積分します。 
式で書くと 
 
  ∫(sin x)/x dx 
 
です。積分範囲が 0〜∞ の定積分です。 
 
これは、実数の範囲の積分ですが、 
複素数の範囲で考えることで解くことができます。 
 
まず、sin x を指数関数に分解すると、 
 
  sin x = { exp(ix) - exp(-ix) }/(2i) 
 
ですから、 
シンク関数 (sin x)/x を考えるには、 
 
  f(z) = exp(iz) /z 
 
を考えると都合が良いことが分かります。 
変数を z にしたのは、複素数の範囲で動くことを忘れないためです。 
シンク関数に戻るときは、z を実数(変数は x と書く)に制限して、 
 
  { f(x) + f(-x) }/(2i) 
   = { exp(ix) /x - exp(-ix) /x }/(2i) 
   = (sin x)/x 
 
とすれば良いのです。 
 
 
さて、f(z) を積分するために、積分路を決めます。 
実数の積分では、実数直線上を積分すれば良かったのですが、 
複素数で積分するので、どの曲線に沿って積分するのかを 
決めてあげなくてはなりません。 
 
そのために、f(z) の特徴を確認します。 
 
z を 0 に近づけていくと、分子は 1 ですが、 
分母に z があるため、無限大に発散していきます。 
そのため、z=0 は特異点です。 
 
でもそれ以外の場所には特異点がありません。 
そこで、コーシーの積分定理を使います。 
特異点がない領域を囲むように一周グルっと積分すると 
積分値が 0 になるという定理です。 
 
特異点になっている原点 z=0 を上手く回避する積分路として、 
複素平面の上半分に、原点を中心とする半径εの半円周(E)と 
半径 R の半円周(C)を描きます。 
すると、実数上の -ε から半円周 E を通り、実数上の ε に行き、 
実数直線(正の部分)を通って、実数上の R に至り、半円周 C を通って、 
実数上の -R に行って、そこから実数直線(負の部分)を通って、 
実数上の -ε に戻るという経路が描けます。 
 
特異点を上手く避けていますので、積分値は、 
 
  ∫f(z)dz = 0 
 
となります。 
これを積分路ごとに分割して書くと、 
 
  (時計回りで半円周 E)+(ε〜 R)+(反時計回りで半円周 C)+(-R 〜ε)= 0 
 
になっています。 
ここで、実数上の経路が丁度、 
 
  (ε〜 R)+(-R 〜ε)= 2i ∫(sin x)/x dx 
 
のようにシンク関数の積分になっていることが分かります。 
従って、 
 
  (時計回りで半円周 E)+(反時計回りで半円周 C) = -2i ∫(sin x)/x dx 
 
とできるので、半円周 E と 半円周 C での積分値が求まれば、 
シンク関数の積分が分かることになります。 
 
 
半円周 E の計算のために、f(z) をローラン展開します。 
 
  f(z) = 1/z + P(z) 
 
と展開することができます。 
ただし、z のベキ級数の部分は P(z) とまとめてあります。 
半円周 E で積分すると、|P(z)|< M としたときに、 
 
  |∫P(z)dz|< M|∫dz| = M|∫εdθ| = Mεπ 
 
と計算できるので、 
ε→0 で、|∫P(z)dz|→0 となり、無視できることが分かります。 
 
一方の 1/z の積分は、z = εexp(iθ) で変数変換しておくと、 
dz = iεexp(iθ) dθ なので、 
 
  ∫(1/z)dz = i∫dθ = -iπ 
 
と計算できることが分かります。 
 
ここまでで、半円周 E の部分は ε→0 で、 
 
  ∫f(z)dz = -iπ 
 
だと分かりました。 
 
 
次に、半円周 C での積分です。 
z = R exp(iθ) = R(cosθ + i sinθ) と変数変換すると、 
dz = iR exp(iθ) dθ ですから、 
 
  ∫f(z)dz = i∫exp(-R sinθ + iR cosθ)dθ 
 
と計算できます。 
左辺の積分は半円周 C に沿ってですが、 
右辺の積分は 0〜π の範囲です。 
 
これも絶対値を計算してみると、 
 
  |∫f(z)dz| ≦ ∫exp(-R sinθ)dθ 
 
です。 
右辺の積分範囲は、0〜π ですが、 
0〜π/2 の範囲で積分することで、値が丁度半分になるため、 
 
  |∫f(z)dz| ≦ 2∫exp(-R sinθ)dθ 
 
と書き直すことができます。 
すると、0〜π/2 の範囲で 連続でかつ常に正となる 
sinθ/θ の最小値を m と置くことで、 
 
  m ≦ sinθ/θ 
 
ですから、mθ ≦ sinθ を使って、sinθを置き換えると、 
 
  |∫f(z)dz| ≦ 2∫exp(-Rmθ)dθ 
 
となります。 
右辺の積分範囲は、0〜π/2 ですが、 
不等号を変えないで、0〜∞ の範囲にすることができます。 
 
  ∫exp(-Rmθ)dθ = {1/(-Rm)}×{exp(-Rm×∞) - exp(-Rm×0)} = 1/(Rm) 
 
のように計算できますので、 
半円周 C の部分は R→0 で、 
 
  ∫f(z)dz = 0 
 
だと分かりました。 
 
 
これでようやく、 
 
  -iπ + 0 = -2i ∫(sin x)/x dx 
 
であることが分かりましたので、 
 
  ∫(sin x)/x dx = π/2 
 
と計算することができました。 
 
 
留数定理を知っていれば、 
特異点の周りで一周積分すると、留数だけが残るため、 
複素関数の積分がひどく簡単になります。 
 
シンク関数の積分の場合、 
特異点の周りを一周するわけではないので、 
留数定理を直接には使えません。 
 
でも、上記のように一度計算を確認しておくと、 
留数の半分の値になっていることに気付きます。 
つまり、原点を半周だけしているので、 
留数を半分だけ拾ってくると覚えておけば、 
済むようになります。 
 
-- 
高野智暢 


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