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【 記 事 】

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スカラー場、ベクトル場、テンソル場 
 
発行:エスオーエル株式会社 
http://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 
2017年3月8日号 VOL.068 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 
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いろいろな現象を理解するために、 
スカラー場、ベクトル場、テンソル場 
という概念を知っていると何かと便利です。 
 
今回は、これらの概念を話題にしてみます。 
 
 
数学の本を開いてみると、これらの定義は 
小難しく書いてあります。 
 
これらの概念をイメージして使いこなせる人達にとって、 
難解な定義は、共通の認識をできるだけ正確に 
言語化しようと努力した結果です。 
 
大雑把でも、イメージを持つことができれば、 
抽象度の高い概念を使って、 
いろいろ考えたり、アイデアを生み出したり 
することができるようになってきます。 
 
 
【スカラー場】 
 
部屋の温度分布をイメージしてみます。 
 
具体的に同じイメージができるように、 
10m×10m×10m の部屋に小さな温度計を置いてみます。 
 
温度計は、1m×1m×1m のスペースに1個ずつ配置 
することにします。 
合計1000個の温度計が必要です。 
 
温度計の場所は、3つの数字で指定することができます。 
 
例えば、下から3段目、左から7列目、前から5個目を 
(3,7,5)と書くと、これで1つの温度計が指定できます。 
 
その温度計 (3,7,5) が 21.4℃ だったとします。 
その隣の温度計 (3,6,5) は、同じ温度とは限りません。 
例えば、21.6℃ だったりします。 
 
このような感じで、空間に配置された温度計を 
3つの数字(座標)で指定して、その温度を読んでいく 
状況がスカラー場に当たります。 
 
実際に、空間の温度分布はスカラー場になりますが、 
そのときは、温度計をびっしり無限個敷き詰める状況に 
対応します。 
 
空間の1点を指定すると温度が1つ定まるという状況です。 
 
 
【ベクトル場】 
 
電場や磁場を扱うには、ベクトル場の概念が必要になります。 
 
電場や磁場のように目に見えない概念を例にして、 
これから説明しようとするベクトル場をイメージするのは 
少々難しいです。 
 
そこで、スカラー場のときのように、また 
10m×10m×10m の部屋をイメージしてみます。 
 
今度は、部屋の空気の流れ「風」を測定していきます。 
 
1m×1m×1m のスペースに1個ずつ「矢印」を配置 
することにします。 
 
風が強ければ矢印は長く、弱ければ短くなります。 
そして、矢印は風の流れる方向に向きます。 
 
部屋のどの矢印を指定するかは、 
やはり3つの数字(座標)で決められます。 
 
位置を1つ指定すると、 
指定された矢印の向きと大きさが1組定まる 
という状況です。 
 
これがベクトル場です。 
 
 
【テンソル場】 
 
ついでにテンソル場もイメージしてみましょう。 
 
10m×10m×10m の部屋をイメージしてみます。 
この部屋に 1m×1m×1m のレンガを 1000個 敷き詰めます。 
 
大男が、レンガの詰まった部屋を 
押したり、引っ張ったり、曲げたり、ねじったりします。 
 
1つのレンガを3つの数字(座標)で指定します。 
 
そのレンガには、6つの面がありますが、 
作用反作用の法則がありますので、 
面に掛かる力を考えるときには、 
平行な2面は1つの面を考えるだけで十分です。 
 
つまり、1つのレンガの互いに垂直な 
3つの面をイメージし、それらに掛かる力を考えます。 
 
1つの面には、 
その面の法線方向に押されたり引っ張られたりする方向の他に、 
面内の1方向に掛かる力と、 
同じ面内でその方向に直角な方向に掛かる力 
の3つがあります。 
 
3つの面にそれぞれ力の矢印が1本ずつ生えていて、 
その矢印の大きさと方向は、上記の3つの力の合成で決まります。 
 
1つのレンガを指定すると、 
3つの矢印の向きと大きさがそれぞれ決まるということです。 
 
1つの矢印は、3方向の成分に分解できますので、 
1つのレンガを指定すると、9個の成分が定まると言っても 
同じことです。 
 
これがテンソル場です。 
レンガに掛かる力を例に取りましたが、 
これは、応力テンソルに当たります。 
 
応力テンソルを実際に使う場合には、 
大きさのあるレンガというよりも、 
それを無限に小さくしたものを無限個敷き詰めた状況を考えます。 
 
 
このような説明で 
何とかイメージして頂けたでしょうか? 
 
-- 
高野智暢 


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