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【 記 事 】

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平均自由行程の式の導出 
 
発行:エスオーエル株式会社 
http://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定!?」 
2017年1月11日号 VOL.066 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 
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◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ 
 
 
 
以前、X線管内の平均自由行程の計算をしました。 
そのときに使った式は、公式として当てはめました。 
(メルマガでは省きましたが、使う前に自分で式を導出していました。) 
 
公式を天下り的に使うのは、あまり好きではない性分なので、 
使う式は使う前に導出しておかないとスッキリしないのです。 
 
今回は、平均自由行程λの式を導出してみます。 
 
 
以前のメルマガで使った平均自由行程の式は、 
 
  λ = 1/{(√2) μσ } 
 
でした。 
 
μは、数密度で 1m^3 に何個という量(単位は、[m^-3])、 
σは、散乱の有効断面積 [m^2] です。 
 
 
まず、散乱の有効断面積が 
 
  σ = 4πr^2 
 
と書けることを確認します。 
 
分子を半径 r の球と仮定します。 
2つの球が衝突することを考えるのですが、 
一方の A が止まっていて、もう一方の B が速度 v で向かってくると考えます。 
 
一方の球 A が衝突に関わる大きさを全て持っていて、 
もう一方の球 B は点であると考えます。 
 
すると、進行方向と平行で、球 A の中心を通る直線を軸とした 
半径 2r の円筒内に、点 B が入っている場合に、 
衝突が起こることが分かります。 
 
 言い回しが難しくなってしまいましたが、 
 要は、半径 r の2つの球が衝突するのは、 
 大きさを無視して最接近したときの 
 球の中心間距離が 2r 以下のときということです。 
 
 
散乱の有効断面積σは、その半径 2r の円の面積を求めることなので、 
 
  σ = (2r)^2 ×π = 4πr^2 
 
のように確かめることができました。 
 
 
さて、衝突が起こってから次の衝突が起こるまでの平均自由時間τと 
速度 v の掛け算が平均自由行程λです。 
つまり、 
 
  λ = vτ 
 
です。 
 
そして、半径 2r で、高さ vτ の円筒の中に、 
衝突する点 B が 1 つ入っている状況を考えれば、 
分子の衝突が起こるときの数密度μの式を書き下せます。 
 
その円筒の体積は、σ×vτ ですから、 
その体積の中に 1個 ということなので、 
 
  μ = 1/(σvτ) = 1/(σλ) 
 
です。 
つまり、これを λ= の式に直すことで、 
 
  λ = 1/(μσ) 
 
となります。 
 
でも、分母に (√2) が足りません。 
これは、1つの分子が速度 v で走っているという仮定のためです。 
 
そこで、全ての分子が速度 v で走っていると考え直します。 
 
速度 v で走る2つの分子の方向が、角度θとなっているとします。 
2つの分子の相対速度を w と置けば、 
それらの成す三角形の余弦定理から、 
 
  w^2 = v^2 + v^2 - 2vv cosθ 
 
という式が得られます。 
この両辺の平均値を取ります。 
平均を取ったものは < > という括弧で括ることにします。 
 
  <w>^2 = <v>^2 + <v>^2 - 2<vv cosθ> 
 
そして、θはランダムなので、cosθの平均を取ると、 
 
  <cosθ> = 0 
 
です。 
従って、 
 
  <w>^2 = <v>^2 + <v>^2 = 2×<v>^2 
 
より、 
 
  <w> = (√2)<v> = (√2)v 
 
になります。 
全ての分子が速度 v という仮定より、<v> = v です。 
 
1つの分子が速度 v で走っているときの式の v を 
<w> に置き換えると、 
 
  μ = 1/(σ<w>τ) = 1/{σ(√2)vτ } = 1/{σ(√2)λ } 
 
となるので、ようやく、 
 
  λ = 1/{(√2) μσ } 
 
を得ることができました。 
 
 
でも、これで終わりではないのです。 
分子の速度が全て v というのは、現実的ではありません。 
 
しかし、速度の分布がマクスウェル分布だとしても、 
同じ結果が得られるのです。 
 
今回は一応、使った式の導出ができたので、ここまでにします。 
 
 
-- 
高野智暢 


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