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楕円と楕円曲線

発行:エスオーエル株式会社
http://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定!?」
2014年8月13日号 VOL.039

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前回の予告通り、「楕円」と「楕円曲線」を話題にします。

楕円は、円が潰れたような形で、多くの人がイメージできる形だと思います。
光学では、「楕円鏡」「偏光」「複屈折」等で出てきます。
機械では、「リンク機構」や「カム機構」等で出てきますが、
図面の円筒や円錐の切り口としても出てきます。

円錐の切り口として現れるというのは、結構重要な性質で、
紀元前200年頃の古代ギリシャでは既に知られた事実だったようです。

円錐の切り口として現れるのは、「円」「楕円」「放物線」「双曲線」で、
これらを「円錐曲線」と呼びます。

私は小さい頃に、円錐曲線を何かの本で読んで知っていましたが、
だから何?という感想しかなく、全く興味が湧きませんでした。


 もう一つ、長年興味が無かったものに「素数」というものがあります。
 1より大きい整数で、1とその数以外で割り切れない数のことです。
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... と無限に存在します。

 昔から、数字そのものよりも一般化した記号に興味がありました。
 しかし、18歳位のとき、何進法で書いても素数は素数ということに気が付き、
 強い衝撃と感動を覚えたことを今でも憶えています。

 7は10進法で書いているから素数だと先入観を持っていたようで、
 具体的な数達には興味も無かったので、確かめることもありませんでした。

 確か、友人に素数が如何に下らない存在かを説明しようと7を7進法で「10」
 と書いて、「ほら素数なんて表記の問題でしょ」と言おうとしたら、
 7進法の「10」が素数だと気付いて驚きました。

 他の数で確かめてみても、決して表記の問題ではありませんでした。
 10進法で素数ではない8は、7進法で「11」と書いても素数ではないし、
 10進法で素数の11は、6進法で「15」と書いても素数のままでした。

 思い込みが打ち砕かれた衝撃と、何とも気味の悪い普遍性に触れた感覚
 で感動してしまい、それ以来素数ファンです。

 この話は、あまり共感してもらえませんが、
 人が何かに興味を持つには、感動という心の働きが重要な役割を持っているのだと思います。
 私も人生の半分程は素数に興味が無かったので、共感できない人の気持ちは分かります。


円錐曲線に興味が出てきた具体的なきっかけは思い出せませんが、
たぶん、円とか楕円とか放物線とか双曲線の具体例に多く触れているうちに、
それらを統一的な概念に統合する円錐曲線の考え方に感動したのだと思います。

具体例を知る前の抽象化には、感動を覚えなかったということだと思います。


 人は、様々なものを抽象化し、一般化してきました。

 電気と磁気が統一的に電磁気力として理解されることを知りました。
 色や電波や赤外線、紫外線、X線などが、光の波長λという1つのパラメータで
 統一的に扱えることを知りました。

 更には、ベータ崩壊による放射線放出を起こす「弱い核力」と
 原子核を結合している「強い核力」、そして「電磁気力」の
 3つの基本的な力も統一されようとしています。

 「重力」を含めた現在知られている4つ全ての基本的な力を統一する研究も
 進められています。

 一度、一般化の威力を体験してしまうと、味を占めてしまうようです。
 私も学んだ個別のことはどんどん忘れていきますので、
 一般化して見通しが良くなった範囲の知識や技能が使えるようになります。


円錐曲線のように、別々に見えるもの達が実は1つのものの別の切り口でしかなかった
という一般化(あるいは統一)の感動を是非多くの方に体験してもらいたいものです。


さて、古代ギリシャ時代に知られていた円錐曲線も、
方程式と関連付けて考えられるようになるには、
17世紀のフェルマーやデカルトを待たなくてはなりませんでした。
今では式をグラフにして考えるのは常識ですが、実は400年弱しか経っていない高度な概念です。

中心が原点にある半径rの円は、
  x^2 + y^2 = r^2
です。

楕円の場合は、
  (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
となります。

また、双曲線は、
  (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
であり、これらは、xとyについてそれぞれ2次の式です。

与えられた式の幾何学的(あるいは数論的)性質を調べようとしたとき、
次数が高くなると、あっという間に難しくなります。

そこで闇雲に適当な式の性質を調べるよりも、意味のある式を丹念に調べたくなります。

円錐曲線の次に次数の高い曲線は、「楕円曲線」と呼ばれており、
  y^2 = x^3 + ax + b
の形をしています。
yは2次のままで、xが3次になっています。

これでも十分難しく、現代数学の最先端分野です。
有名な応用として、1995年にフェルマーの定理が証明されるときに使われました。
360年間解かれなかった難題でした。

暗号技術や素数判定法としても応用されています。

楕円曲線は、円錐曲線の次に次数が高いというだけでなく、
楕円関数や楕円積分と関係が深く、調べる意味のあるものです。
「楕円曲線」という名前の由来は、その関係からです。


 学生の頃、「楕円曲線を見たら、トーラス(ドーナッツの形)に見えなくては理解が浅い」
 と言われたことがあります。

 楕円曲線をグラフに描いても丸にくの字「○く」や単なる「く」や
 Ωを90°回転したような形にしかなりません。
 そして、長年トーラスに見えることはありませんでした。

 最近は、何となくトーラスに見えます。
 分かり易い説明は難しいですが、平面に無限遠点を追加して、
 実数上の楕円曲線を複素数上にCT断層像のように重ねていくイメージでしょうか。


この辺のお話は、伝えたいことが多過ぎて、今回は(も?)盛り込み過ぎました。

おそらく、X線CTや三次元測定機、光学機器、自動制御など
私が仕事で使う知識や技術のベースとなっているのは、
このような(一見直結しない)バックグラウンドによるものなのかもしれません。

また、自分の興味に何となく関連していることが
この仕事を長く続けて来れた原動力なのかもしれません。

--
高野智暢


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