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積分変換

発行:エスオーエル株式会社
http://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定!?」
2014年4月9日号 VOL.035

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最近、泣いている息子を抱き上げると、突然泣き止んで、すくっと遠くを指差し、
落ち着いた声で一言「でんちゃ」と言います。電車を見に行きたいということのようです。


さて、ここ6回(実に半年)にわたって幾何公差を話題にしてきましたので、
気分を変えて、積分記号∫が出てくるお話をしようかと思います。

これまでも何度もメルマガで ∫ を使ってきました。
そして、その度に積分は難しい概念ではないと強調してきました。
単なる足し算をたくさん続けたものです...と。
そして、簡単ですなどと言う人達の例にたがわず、追うのが面倒な式をたくさん書きます。

たぶん私は積分が好きな人の部類に入ります。
積分が好きな人は、「ちょっとした拡張なので簡単です」などと言って、
積分記号をたくさん並べて、満足します。

二重積分 ∫∫ や 三重積分 ∫∫∫ は、
3次元空間(X,Y,Z で位置を指定できる世界)に住んでいる人間にとっては、
比較的作りやすい式になります。

光学をやっていると、六重積分 ∫∫∫∫∫∫ が出てきます。

最近私はほとんど使っていませんが、学生のころは、積分記号が無限個並ぶ
∫...∫ というのも頻繁に使っていました。


でも、積分記号が嫌いな人が多いようです。
積分を諦めてしまっている人から、積分は簡単にできるけどわざわざ積分の式を書きたくない
など人によって様々です。
積分計算が得意な人でも、実用上仕方なく使っている場合があります。

積分が好きな人は、その楽しさを周りの人に伝えようとしますが、
上手く行かないケースが多いようです。

話を聞いて積分が好きになるタイプの人は、既に積分が好きか得意なのです。

極稀に、積分の楽しさを伝えるのが上手い人がいます。
是非見習いたいものですが、伝えたいことがたくさんあって、
つい積分記号のオンパレードになってしまい、逆効果になってしまいます。


積分はとっても身近です。
人間は、基本的に比例関係や微小変化といった概念しか認識できないので、
何か全体を知りたいと思ったときには、いわゆる積分をしています。

微分積分学が出来上がるずっと以前から、
人間は土地の面積を測りたいとか、体積を知りたいという目的から
積分に相当する概念を利用してきました。


測定機を扱う弊社では、積分は必須の概念です。
形状、面性状の話をするときは、常にフーリエ変換という積分の一種を
念頭に置いています。

レーザー干渉計で得られた干渉縞をコンピュータが形状に直す演算にも
フーリエ変換が使われています。

測定機を設置する場所の振動を調査するときもフーリエ変換を使います。

レーザー、X線、赤外線、白色光など、様々な光を応用した装置を扱っていますが、
フーリエ変換の概念なしには、理解できません。

装置の測定条件として用いるフィルタの理解にもフーリエ変換が必要です。

装置には何らかの駆動部があり、制御されています。
この理解にはラプラス変換と呼ばれる積分の一種が不可欠です。

以前メルマガでご紹介したように、X線CTの原理を理解するには、
ラドン変換や二次元フーリエ変換を理解する必要があります。


ここに挙げた「フーリエ変換」「ラプラス変換」「ラドン変換」といったものは、
積分変換と呼ばれています。

積分変換の特長は何かと問われれば、
「難しいものを積分変換すれば簡単になる」
というのが回答です。

難しい式があって、手も足も出ないとき、積分変換した世界で見ると、
簡単な 足し算 引き算 掛け算 割り算 ができる式になっていて、
そっちの世界で式を解いておいて、
逆変換で元の世界に戻ってくると、難しかった式が既に解けている
という構図です。

例えば、ラプラス変換した世界では、微分は掛け算に、積分は割り算になります。
何階微分でも掛け算するだけ、何重積分でも割り算するだけ。簡単です。
積分が苦手な人は、ラプラス変換した世界へ逃避できます。
ただし、行きと帰りにちょっとした積分が必要ですが。


どうやら積分の話をするときは、やはり「簡単」というのがキーワードのようです。

--
高野智暢


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